Lista notatek
Funkcje trygonometryczne
Podtematy
Funkcje trygonometryczne
Funkcje trygonometryczne to grupa funkcji matematycznych, które zajmują się zależnościami pomiędzy długością boków trójkąta prostokątnego, a miarami jego kątów. Mają szerokie zastosowanie w geometrii oraz wiele praktycznych zastosowań – na przykład w nawigacji, mechanice nieba czy geodezji. Funkcje te występują również w innych dziedzinach matematyki, takich jak liczby zespolone czy szeregi nieskończone.
Do podstawowych funkcji trygonometrycznych zaliczamy sinus, kosinus i tangens. Rzadziej spotykanymi funkcjami są sekans, kosekans i kotangens. Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi lub kołowymi (np. arcus sinus i arcus tangens).
Więcej informacji na temat funkcji trygonometrycznych znajdziesz w następujących podtematach:
- Funkcje trygonometryczne i trójkąt prostokątny – podstawowa zależność między długością boków w trójkącie prostokątnym, a miarą kąta
- Wartości funkcji trygonometrycznych – często używane wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych dla kątów podstawowych (np. 0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
- Funkcje trygonometryczne: zależności i wzory – najważniejsze zależności między poszczególnymi funkcjami trygonometrycznymi i ich zastosowanie
- Własności funkcji trygonometrycznych – właściwości funkcji trygonometrycznych, takie jak okresowość i symetria
- Wykresy funkcji trygonometrycznych
Funkcje trygonometryczne i trójkąt prostokątny
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym możemy wyrazić za pomocą następujących definicji:
- Sinus (\sin) kąta \alpha to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \alpha do długości przeciwprostokątnej.
- Cosinus (\cos) kąta \alpha to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \alpha do długości przeciwprostokątnej.
- Tangens (\tan) kąta \alpha to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \alpha do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \alpha.
Wartości funkcji trygonometrycznych
Często używane wartości funkcji trygonometrycznych ilustruje poniższy rysunek okręgu jednostkowego:
Półprosta, która tworzy kąt \alpha z dodatnią częścią osi x i zaczyna się w początku układu współrzędnych, przecina okrąg jednostkowy w punkcie o współrzędnych [\cos \alpha; \sin \alpha], czyli:
- współrzędna x punktu odpowiada wartości \cos danego kąta,
- współrzędna y punktu odpowiada wartości \sin danego kąta.
Przykład: sinus i cosinus kąta 30°
Półprosta, która tworzy z dodatnią częścią osi x kąt 30° (czyli \frac{\pi}{6} radiana), przecina okrąg jednostkowy w punkcie [\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac12]. Zatem mamy:
- \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}
- \sin 30^{\circ} = \frac12
Przykład: tangens kąta 150°
Półprosta, która tworzy z dodatnią częścią osi x kąt 150° (czyli \frac{5\pi}{6} radiana), przecina okrąg jednostkowy w punkcie [-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac12]. Zatem mamy:
- \cos 150^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
- \sin 150^{\circ} = \frac12
- obliczamy \tan 150^{\circ} jako iloraz \frac{\sin 150^{\circ}}{\cos 150^{\circ} }
- \tan 150^{\circ} = \frac12 : \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac12 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}
Własności funkcji trygonometrycznych
Dla funkcji \sin x i \cos x:
- dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych,
- zbiorem wartości jest przedział \langle -1, 1 \rangle,
- funkcje są ograniczone,
- są okresowe o okresie 2\pi,
- nie są różnowartościowe.
Dla funkcji \sin x:
- jest funkcją nieparzystą,
- przyjmuje wartość zero dla x=k\pi.
Dla funkcji \cos x:
- jest funkcją parzystą,
- przyjmuje wartość zero dla x=(2k+1)\frac{\pi}{2}.
Dla funkcji \tan x:
- dziedziną jest zbiór \{x \in \mathbb{R}: x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \},
- zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych,
- jest funkcją nieparzystą,
- jest okresowa o okresie \pi,
- nie jest ograniczona,
- przyjmuje wartość zero dla x=k\pi.
