Lista notatek
Punkty
Podtematy
Rozważając punkty na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w których wprowadzono kartezjański układ współrzędnych (na płaszczyźnie z dwiema osiami x,y, a w przestrzeni z trzema osiami x,y,z), możemy opisać punkty za pomocą ich współrzędnych na płaszczyźnie, lub współrzędnych w przestrzeni.
Na tej podstawie możemy obliczać odległość między dwoma punktami „w linii prostej“ – czyli długość odcinka łączącego te punkty na płaszczyźnie lub w przestrzeni.
Do góryWspółrzędne punktów w ukł. współrzędnych
Układ współrzędnych prostokątnych (układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie) tworzą dwie osie liczbowe x,y, które są do siebie prostopadłe i przecinają się w punkcie [0;0].
Proste x i y to osie współrzędnych, punkt [0;0] to początek układu współrzędnych.
Przykład: Współrzędne punktu A
Punkt A przedstawiony na rysunku w danym układzie współrzędnych określamy za pomocą współrzędnej x=1 i współrzędnej y=2. Położenie punktu A możemy zapisać jako A[1;2].
Współrzędne punktów w przestrzeni
Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni jest określony przez trzy wzajemnie prostopadłe osie liczbowe x,y,z, które przecinają się w punkcie [0;0;0].
Osie x,y,z nazywamy osiami układu współrzędnych, a punkt [0;0;0] jest początkiem układu współrzędnych.
Przykład: Współrzędne punktu A
Punkt A przedstawiony na rysunku ma w danym układzie współrzędnych współrzędne x=4, y=2, z=3, co możemy zapisać jako A[4;2;3].
Odległość między punktami w ukł. współrzędnych
Aby obliczyć odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych, musimy znać ich współrzędne.
Jeżeli dane są współrzędne A=[a_x,a_y], B=[b_x,b_y], odległość punktu A od punktu B wynosi:
|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2}
Wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa. Zauważ, że mamy tu trójkąt prostokątny o długości przyprostokątnych (b_x-a_x) i (b_y-a_y), którego przeciwprostokątna ma długość |AB|.
Przykład: odległość C[0;1],D[4;4]
- |CD| = \sqrt{(d_x-c_x)^2 + (d_y-c_y)^2}
- Podstawiamy współrzędne punktów C[0;1] i D[4;4]:
\sqrt{(4-0)^2 + (4-1)^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5 - Odległość wynosi: |CD|=5
Przykład: odległość M[2;-1], N[-1;-2]
- |MN| = \sqrt{(n_x-m_x)^2 + (n_y-m_y)^2}
- Podstawiamy współrzędne punktów M[2;-1] i N[-1;-2]:
\sqrt{(-1-2)^2 + (-2-(-1))^2}=\sqrt{(-3)^2 + (-1)^2}=\sqrt{10} - Odległość wynosi: |MN|=\sqrt{10}
Odległość między punktami w przestrzeni
Odległość między dwoma punktami w przestrzeni obliczamy podobnie jak odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie, czyli za pomocą współrzędnych. Jeżeli dane są współrzędne punktów A=[a_x,a_y,a_z], B=[b_x,b_y,b_z], odległość między tymi punktami możemy obliczyć w następujący sposób:
|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2 + (b_z-a_z)^2}
W podobny sposób (stosując dwa razy z rzędu twierdzenie Pitagorasa) możemy obliczyć długość przekątnej prostopadłościanu.
Przykład: odległość C[1;2;0],D[4;5;1]
- |CD| = \sqrt{(d_x-c_x)^2 + (d_y-c_y)^2 + (d_z-c_z)^2}
- Podstawiamy współrzędne punktów C[1;2;0] i D[4;5;1]: \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (1-0)^2}=\sqrt{3^2 + 3^2 + 1^2}=\sqrt{19}
- Odległość wynosi: |CD|=\sqrt{19}
Przykład: odległość M[0;-1;3], N[-4;1;-1]
- |MN| = \sqrt{(n_x-m_x)^2 + (n_y-m_y)^2 + (n_y-m_y)^2}
- Podstawiamy współrzędne punktów M[0;-1;3] i N[-4;1;-1]: \sqrt{(-4-0)^2 + (1-(-1))^2 + (-1-3)^2}=\sqrt{(-4)^2 + 2^2+(-4)^2}=\sqrt{36}=6
- Odległość wynosi: |MN|=6
