Lista notatek
Rachunek prawdopodobieństwa
Podtematy
Rachunek prawdopodobieństwa: pojęcia i oznaczenie
Zdarzenie losowe to wynik doświadczenia losowego, o którym po jego przeprowadzeniu można stwierdzić, czy zaszło, czy nie zaszło. Jego charakterystyczną cechą jest to, że może, ale nie musi zajść. Prawdopodobieństwo zdarzenia to miara szansy, że dane zdarzenie wystąpi. Prawdopodobieństwo jest zawsze liczbą z przedziału od 0 do 1. W języku potocznym często wyrażamy prawdopodobieństwo w procentach, co stanowi stukrotność prawdopodobieństwa stosowanego w matematyce.
Pojęcia i oznaczanie
| zdarzenie elementarne | 0 \leq P(A) \leq 1 | podstawowy, niepodzielny wynik doświadczenia |
| zdarzenie pewne | P(A) = 1 | zachodzi zawsze |
| zdarzenie niemożliwe | P(A) = 0 | nie może zaistnieć |
| B jest zdarzeniem przeciwnym do A | P(B) = 1-P(A) | B zachodzi wtedy, kiedy nie zachodzi A |
| zdarzenia A i B są rozłączne | A\cap B=\emptyset | A i B nie mogą zajść jednocześnie (wykluczają się) |
Przykłady
- W woreczku mam pięć kulek, z czego dwie są czerwone, dwie niebieskie i jedna żółta. Kulki różnią się tylko kolorem. Eksperyment polega na tym, że losowo (bez patrzenia) wyciągam jedną kulkę z woreczka.
- „Wyciągnę czerwoną kulkę.“ to zdarzenie losowe. Jest to zdarzenie elementarne. Jego prawdopodobieństwo wynosi 0,4 (w języku potocznym powiedzielibyśmy 40 %).
- „Wyciągnę czerwoną lub żółtą kulkę.“ to zdarzenie złożone. Jego prawdopodobieństwo wynosi 0,6.
- „Wyciągnę kulkę.“ to zdarzenie pewne.
- „Wyciągnę zieloną kulkę.“ to zdarzenie niemożliwe.
Doświadczenia losowe i zdarzenia złożone
W rozwiązywaniu bardziej złożonych zadań nie wystarczy znajomość podstawowego wzoru na prawdopodobieństwo. Na przykład wtedy, gdy zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, składa się z kilku zdarzeń.
Prawdopodobieństwo sumy dwóch zdarzeń losowych
- Prawdopodobieństwo sumy dwóch rozłącznych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw. Czyli: P(A\cup B)=P(A)+P(B).
- Jeśli zdarzenia nie wykluczają się wzajemnie, od ich sumy musimy dodatkowo odjąć prawdopodobieństwo ich części wspólnej. Czyli: P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Obie te zależności możemy również przedstawić graficznie.
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykorzystujemy zazwyczaj w sytuacjach, gdy chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że zajdzie zdarzenie A lub zdarzenie B.
Przykład: rzut kostką
Jakie jest prawdopodobieństwo, że podczas rzutu kostką wypadnie liczba nieparzysta lub liczba podzielna przez 4?
- Mamy zbiór zdarzeń elementarnych \{1,2,3,4,5,6\}.
- Oznaczmy zdarzenie A – wypadnie liczba nieparzysta – A=\{1, 3, 5\}) oraz zdarzenie B – wypadnie liczba podzielna przez 4 –B=\{4\}.
- P(A)=\frac36=\frac12, P(B)=\frac16
- Zdarzenia A, B są rozłączne – liczba nieparzysta nie jest podzielna przez 4.
- P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac12+\frac16=\frac46=\frac23
Prawdopodobieństwo wzajemnie niezależnych zdarzeń
Niezależne zdarzenia to takie zdarzenia, w przypadku których wystąpienie jednego zdarzenia nie ma wpływu na to, czy wystąpi drugie zdarzenie. Na przykład podczas wielokrotnego rzucania kostką wynik jednego rzutu nie ma wpływu na wyniki kolejnych rzutów.
Dla dwóch niezależnych zdarzeń A, B zachodzi: P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)
Prawdopodobieństwo iloczynu niezależnych zdarzeń stosujemy zazwyczaj w sytuacjach, gdy chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że wystąpiło zdarzenie A i jednocześnie wystąpiło zdarzenie B.
Przykład: wielokrotny rzut kostką
Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy dwukrotnie rzucimy kostką, w pierwszym rzucie wypadnie liczba nieparzysta, a w drugim liczba parzysta?
- Oznaczamy zdarzenie A – w pierwszym rzucie wypadła liczba nieparzysta. Oznaczamy zdarzenie B – w drugim rzucie wypadła liczba parzysta.
- Liczb nieparzystych i parzystych jest zawsze po trzy, dlatego: P(A)=P(B)=\frac36=\frac12
- Zdarzenia A, B są niezależne.
- P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\frac12\cdot\frac12=\frac14
