Trójkąt

Twierdzenie Pitagorasa opisuje zależność pomiędzy długościami boków trójkąta prostokątnego. Brzmi ono: Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Twierdzenie Pitagorasa możemy zapisać w następujący sposób c^2 = a^2 + b^2, gdzie c to długość przeciwprostokątnej, a a i b to długości przyprostokątnych.

Poniższy rysunek to tzw. graficzny dowód twierdzenia Pitagorasa:

Znajduje on zastosowanie również w odwrotnym kierunku. Jeżeli suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie Pitagorasa ma w geometrii bardzo szerokie zastosowanie, ponieważ wiele figur możemy „rozłożyć” na trójkąty prostokątne.

Typowym przykładem zastosowania twierdzenia Pitagorasa jest obliczanie długości przekątnej kwadratu lub wysokości trójkąta równobocznego.

Przekątna kwadratu o boku a jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość a. Zatem dla długości przekątnej d zachodzi d^2 = a^2 + a^2. Po przekształceniu: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Na przykład kwadrat o boku 10 cm będzie miał przekątną o długości 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 cm.

Wysokość w trójkącie równobocznym o boku a jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego, którego druga przyprostokątna ma długość \frac{a}{2}, a przeciwprostokątna a. Zatem dla wysokości h zachodzi h^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po przekształceniu: h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, h = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Na przykład w trójkącie równobocznym o boku 5 metrów wysokość wynosi \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 m.

Aby obliczyć miarę nieznanego kąta w trójkącie, korzystamy z podstawowej zasady, która mówi, że suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.

Szczególne przypadki:

• W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają 60°.
• W trójkącie równoramiennym obydwa kąty przy podstawie są takie same.
• W trójkącie prostokątnym jeden kąt ma 90°, a suma dwu pozostałych kątów również wynosi 90°.

Do obliczenia miary kąta możemy również wykorzystać kąty wierzchołkowe i przyległe.

Przykład: Oblicz miarę kąta zaznaczonego na pomarańczowo.

Kąt przy wierzchołku B tworzy parę kątów wierzchołkowych z kątem o mierze 30°, zatem będzie miał 30°. Z kolei kąt przy wierzchołku A tworzy parę kątów przyległych z kątem o mierze 100°, zatem będzie miał 180°-100°=80°. Obliczamy miarę niewiadomego kąta przy wierzchołku C: 180°-80°-30°=70°