Logarytm

Definicja i zastosowanie logarytmu

Logarytm jest operacją odwrotną do potęgowania. Logarytmem dodatniej liczb x przy podstawie a nazywamy taką liczbę rzeczywistą y = \log_a(x), dla której zachodzi a^y = x. Liczbę a nazywamy podstawą logarytmu (bazą). Ćwiczenia z podstawowej definicji znajdziesz w temacie Logarytm: obliczenia.

Logarytm o podstawie e=2{,}71 828 182... (liczba Eulera) nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy zazwyczaj jako \ln. Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym (oznaczamy \log, w tekstach obcojęzycznych spotyka się również zapis \lg).

Logarytmy mają bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki. Historycznie były wykorzystywane jako użyteczne narzędzie obliczeniowe („linijka logarytmiczna”), które opierało się na fakcie, że logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.

Obecnie z logarytmami często spotykamy się na przykład w informatyce przy projektowaniu i analizie algorytmów.

Własności logarytmów

Podczas pracy z logarytmami, na przykład rozwiązując ćwiczenia z tematu Wyrażenia z logarytmami, często korzystamy z następujących własności logarytmów:

Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich.
Logarytm o podstawie 1 nie jest określony.
Logarytm z jedynki jest równy zeru: \log_a(1)=0.
ogarytm liczby równej podstawie jest równy 1: \log_a{a}=1.
Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów: \log_a(x\cdot y)=\log_a{x}+\log_a{y}.
Logarytm ilorazu jest różnicą logarytmów: \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a{x}-\log_a{y}.
Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie: \log_a{x}=y \Leftrightarrow a^y=x.
Logarytm potęgi jest iloczynem wykładnika i logarytmu liczby: \log_a(x^n)=n\log_a{x}.