Odległość punktu od prostej
Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego punkt M z punktem leżącym na prostej p. Jak widać powyżej, najkrótszy odcinek zawsze leży na prostej prostopadłej poprowadzonej z punktu M do prostej p. Oznacza to, że odległość punktu od prostej możemy wyznaczyć w następujący sposób:
- rysujemy prostą k, która przechodzi przez punkt M i jest prostopadła do prostej p
- wyznaczamy punkt przecięcia P prostej k z prostą p
- odległość punktu M od prostej p jest równa długości odcinka PM
Przykład: odległość punktu od prostej – metoda geometryczna
Wyznacz odległość punktu M=[5;2] od prostej p:4x+3y-1=0.
- Prosta k przechodząca przez punkt M i prostopadła do prostej p ma wektor kierunkowy równoległy do wektora normalnego prostej p.
- Współrzędne wektora kierunkowego prostej k są następujące: \vec{u}=(4;3).
- Równanie parametryczne prostej k ma postać: p:X=M+t\vec{u}
- p:\begin{array}{rrl}x&=&5+4t\\y&=&2+3t\\&&t\in\mathbb{R}\end{array}
- Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia P prostej k z prostą p, podstawiamy równanie parametryczne prostej k do równania ogólnego prostej p.
\begin{array}{rrl}4(5+4t)+3(2+3t)-1&=&0\\20+16t+6+9t-1&=&0\\25+25t&=&0\Rightarrow t=-1\end{array}
- Po podstawieniu otrzymujemy punkt przecięcia prostych k i p: P=[1;-1].
- Odległość punktu M od prostej p jest równa długości odcinka PM:
- Wzór na długość odcinka: d=\sqrt{(x_M-x_P)^2+(y_M-y_P)^2}
- Podstawiamy współrzędne punktów M,P: d=\sqrt{(5-1)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=5
Wzór na odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym
Odległość punktu M=[m_1;m_2] od prostej p danej równaniem ogólnym ax+by+c=0 wyraża się wzorem: d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}}
Przykład: odległość punktu od prostej – metoda ze wzoru
Wyznacz odległość punktu M=[5;2] od prostej p:4x+3y-1=0, korzystając ze wzoru.
- Podstawiamy do wzoru d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} współrzędne punktu M=[5;2] oraz współczynniki a i b z równania ogólnego prostej.
- Równanie ogólne prostej p ma postać 4x+3y-1=0, zatem a=4 i b=3.
- Otrzymujemy: d=\frac{\left| 4\cdot5+3\cdot2-1\right|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{25}{\sqrt{25}}=5
Odległość dwóch prostych równoległych
Jeśli potrafimy obliczyć odległość punktu od prostej, łatwo łatwo wyznaczyć odległość dwóch prostych równoległych.
Wystarczy zauważyć, że wszystkie punkty leżące na jednej z tych prostych mają taką samą odległość od drugiej prostej. Dlatego odległość dwóch prostych równoległych jest równa odległości dowolnego punktu jednej prostej od drugiej prostej.
Przykład: odległość prostych równoległych
Wyznacz odległość prostych równoległych p:2x-4y+3=0 a q:x-2y+1=0.
- Wyznaczamy współrzędne jednego punktu (M) leżącego na prostej q, wybierając jedną współrzędną i obliczając drugą.
- Wybieramy na przykład współrzędną y=0, wtedy x-2\cdot0+1=0\Rightarrow x=-1
- Podstawiamy do wzoru d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}} współrzędne punktu M=[-1;0] i współczynniki a i b z równania ogólnego prostej p.
- Równanie ogólne prostej p ma postać 2x-4y+3=0, zatem a=2 i b=-4.
- Otrzymujemy: d=\frac{\left| 2\cdot(-1)-4\cdot0+3\right|}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}=\frac{1}{\sqrt{20}}
- Zatem odległość prostych równoległych p i q wynosi: d=\frac{1}{\sqrt{20}}
