Funkcje

Aby łatwiej zrozumieć pojęcie funkcji, posłużmy się prostym przykładem. Wyobraźmy sobie, że uczniowie klasy mają podać miesiąc swoich urodzin. Czyli każdemu uczniowi przyporządkowujemy jeden konkretny miesiąc w roku.

W tym przypadku funkcja to reguła, która każdemu elementowi x (uczeń) ze zbioru U (wszyscy uczniowie klasy) przypisuje dokładnie jedną wartość y (miesiąc urodzenia). Dana reguła to funkcja, ponieważ każdy uczeń może mieć tylko jeden miesiąc urodzenia, więc do każdego x przypisana jest dokładnie jedna wartość y.

Nie zawsze jednak do każdego y będzie przypisana tylko jedna wartość x. Dwa różne elementy ze zbioru U mogą mieć taką samą wartość – ponieważ dwoje lub więcej uczniów może mieć taki sam miesiąc urodzenia.

Ze względu na ograniczoną ilość miejsca w tym wyjaśnieniu będziemy rozpatrywać tylko funkcje, których dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste.

Funkcję f nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego argumentu x zachodzi warunek f(-x) = f(x). Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi y.

Funkcję f nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego argumentu x zachodzi warunek f(-x) = -f(x). Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Funkcję f nazywamy okresową, jeżeli istnieje liczba t \neq 0 (zwana okresem funkcji), taka że dla każdego x zachodzi f(x+t)=f(x). Typowymi przykładami funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne. Natomiast np. wielomiany nie są funkcjami okresowymi (z wyjątkiem funkcji stałej).

Funkcję f nazywamy ograniczoną z dołu, jeżeli istnieje liczba m, taka że dla każdego x zachodzi f(x) \geq m. Funkcję f nazywamy ograniczoną z góry, jeżeli istnieje liczba M, taka że dla każdego x zachodzi f(x) \leq M. Funkcję f nazywamy ograniczoną, jeżeli jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.

Funkcję f nazywamy różnowartościową, jeżeli dla każdej pary x_1 \neq x_2 zachodzi f(x_1) \neq f(x_2).

Funkcję f nazywamy rosnącą, jeżeli dla każdej pary x_1 \lt x_2 zachodzi f(x_1) \lt f(x_2).

Funkcję f nazywamy malejącą, jeżeli dla każdej pary x_1 \lt x_2 zachodzi f(x_1) \gt f(x_2).

Funkcja f ma maksimum w punkcie x_0, jeżeli dla każdej liczby x \in D(f) zachodzi f(x) \leq f(x_0). Zatem maksimum to punkt, w którym wartość funkcji jest największa (takich punktów może być więcej niż jeden, np. w funkcji sinus).

Funkcja f ma minimum w punkcie x_0, jeżeli dla każdej liczby x \in D(f) zachodzi f(x) \geq f(x_0). Zatem minimum to punkt, w którym wartość funkcji jest najmniejsza (takich punktów również może być więcej niż jeden).

Maksimum i minimum nazywamy ekstremami funkcji.

Wykres funkcji f określonej wzorem y=f(x) dla wszystkich x należących do zbioru D(f) jest zbiorem punktów na płaszczyźnie, których współrzędne kartezjańskie x, y spełniają następujące warunki:

• współrzędna x należy do dziedziny funkcji f (czyli x \in D(f))
• zależność współrzędnej y od x jest opisana wzorem funkcji y=f(x) (dla każdego x z D(f) na wykresie znajduje się dokładnie jeden punkt, którego współrzędne wynoszą x i f(x))

Wykresy podstawowych funkcji trygonometrycznych

Wpływ przekształcania funkcji na wykres

Na rysunku przedstawiono wykresy kilku przekształconych funkcji \sin(x).

Wykresem funkcji danej wzorem y= ax+b jest prosta. Zbiorem rozwiązań nierówności liniowej są wszystkie punkty [x,y] leżące w półpłaszczyźnie ograniczonej prostą graniczną y= ax+b. Może wystąpić jeden z czterech przypadków:

Na rysunkach poniżej pokazano rozwiązania wszystkich typów nierówności liniowych. (Zauważ, że jeśli w nierówności występuje tylko znak \gt lub \lt, to punkty leżące dokładnie na prostej granicznej nie spełniają tej nierówności).

• y\geq 2x+1
• y \gt 2x+1
• y\leq 2x+1
• y \lt 2x+1

Układ współrzędnych prostokątnych (układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie) tworzą dwie osie liczbowe x,y, które są do siebie prostopadłe i przecinają się w punkcie [0;0].

Proste x i y to osie współrzędnych, punkt [0;0] to początek układu współrzędnych.

Przykład: Współrzędne punktu A

Punkt A przedstawiony na rysunku w danym układzie współrzędnych określamy za pomocą współrzędnej x=1 i współrzędnej y=2. Położenie punktu A możemy zapisać jako A[1;2].

Funkcje trygonometryczne to grupa funkcji matematycznych, które zajmują się zależnościami pomiędzy długością boków trójkąta prostokątnego, a miarami jego kątów. Mają szerokie zastosowanie w geometrii oraz wiele praktycznych zastosowań – na przykład w nawigacji, mechanice nieba czy geodezji. Funkcje te występują również w innych dziedzinach matematyki, takich jak liczby zespolone czy szeregi nieskończone.

Do podstawowych funkcji trygonometrycznych zaliczamy sinus, kosinus i tangens. Rzadziej spotykanymi funkcjami są sekans, kosekans i kotangens. Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych nazywamy funkcjami cyklometrycznymi lub kołowymi (np. arcus sinus i arcus tangens).

Więcej informacji na temat funkcji trygonometrycznych znajdziesz w następujących podtematach:

• Funkcje trygonometryczne i trójkąt prostokątny – podstawowa zależność między długością boków w trójkącie prostokątnym, a miarą kąta
• Wartości funkcji trygonometrycznych – często używane wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych dla kątów podstawowych (np. 0°, 30°, 45°, 60°, 90°)
• Funkcje trygonometryczne: zależności i wzory – najważniejsze zależności między poszczególnymi funkcjami trygonometrycznymi i ich zastosowanie
• Własności funkcji trygonometrycznych – właściwości funkcji trygonometrycznych, takie jak okresowość i symetria
• Wykresy funkcji trygonometrycznych

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym możemy wyrazić za pomocą następujących definicji:

• Sinus (\sin) kąta \alpha to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \alpha do długości przeciwprostokątnej.
• Cosinus (\cos) kąta \alpha to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \alpha do długości przeciwprostokątnej.
• Tangens (\tan) kąta \alpha to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta \alpha do długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \alpha.

Często używane wartości funkcji trygonometrycznych ilustruje poniższy rysunek okręgu jednostkowego:

Półprosta, która tworzy kąt \alpha z dodatnią częścią osi x i zaczyna się w początku układu współrzędnych, przecina okrąg jednostkowy w punkcie o współrzędnych [\cos \alpha; \sin \alpha], czyli:

• współrzędna x punktu odpowiada wartości \cos danego kąta,
• współrzędna y punktu odpowiada wartości \sin danego kąta.

Dla funkcji \sin x i \cos x:

• dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych,
• zbiorem wartości jest przedział \langle -1, 1 \rangle,
• funkcje są ograniczone,
• są okresowe o okresie 2\pi,
• nie są różnowartościowe.

Dla funkcji \sin x:

• jest funkcją nieparzystą,
• przyjmuje wartość zero dla x=k\pi.

Dla funkcji \cos x:

• jest funkcją parzystą,
• przyjmuje wartość zero dla x=(2k+1)\frac{\pi}{2}.

Dla funkcji \tan x:

• dziedziną jest zbiór \{x \in \mathbb{R}: x \neq (2k+1)\frac{\pi}{2} \},
• zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych,
• jest funkcją nieparzystą,
• jest okresowa o okresie \pi,
• nie jest ograniczona,
• przyjmuje wartość zero dla x=k\pi.

Funkcja jest logarytmiczna, jeśli można ją wyrazić w postaci y=\log_a x, gdzie a jest podstawą, a x argumentem. Podstawą może być dowolna dodatnia liczba rzeczywista różna od 1, czyli a\in (0,1)\cup (1,\infty).

Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.