Lista notatek
Wektory
Podtematy
Wektor to uporządkowana para punktów.
Wektor jest wyznaczony przez punkt początkowy i końcowy. Graficznie przedstawiamy go jako odcinek ze strzałką z grotem na końcu wektora, a zapisujemy jako \vec{u}=\overrightarrow{AB}
Na rysunku punkt A jest początkiem wektora \vec{u}, a punkt B końcem wektora \vec{u}.
Do góryWektory: pojęcia
Wektory przeciwne to wektory, które mają taką samą długość i kierunek, ale przeciwny zwrot:
Wektory współliniowe to wektory, które możemy umieścić na jednej prostej. Nie muszą mieć takiej samej długości, mogą mieć taki sam lub przeciwny zwrot:
Wektory prostopadłe to wektory, które tworzą kąt prosty:
Współrzędne wektora to rzuty prostokątne wektora na osie współrzędnych, czyli wektor \vec{u}=\overrightarrow{AB} ma współrzędne: \vec{u}=(u_1;u_2)=(b_1-a_1;b_2-a_2)
Długość wektora \vec {u}=\overrightarrow{AB} to długość odcinka AB, oznaczamy ją jako \left| \vec{u} \right| i obliczamy w następujący sposób: \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}
Wektor jednostkowy ma długość 1.
Wektor zerowy ma długość równą zero, czyli jego punkt początkowy i końcowy pokrywają się.
Do góryWspółrzędne wektora
Wiemy już, że wektor to uporządkowana para punktów. Jeżeli dane są współrzędne punktów A=[a_1;a_2] i B=[b_1;b_2], to współrzędne wektora \overrightarrow{AB} określa wzór \overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1;b_2-a_2).
Współrzędne wektora \overrightarrow{AB}
- Spróbujmy przesunąć wektor \overrightarrow{AB} na początek układu współrzędnych. Aby to zrobić, musimy przesunąć go o dwie kratki w lewo i o jedną kratkę w dół.
- Punkt A znajdzie się wówczas w miejscu punktu O, a punkt B w miejscu punktu C. Takie przesunięcie możemy wyrazić w następujący sposób:
- A przesuwa się na [2-2;1-1]=[0;0]
- B przesuwa się na [4-2;5-1]=[2;4]
- Zatem współrzędne wektora przestawionego na rysunku to: \vec{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}=(2;4)
Współrzędne wektora \overrightarrow{AB} otrzymujemy poprzez odjęcie współrzędnych punktu A od współrzędnych punktu B.
Do góryDługość wektora
Długość wektora \overrightarrow{AB} to długość odcinka AB. Wektor, którego długość wynosi 1, nazywamy wektorem jednostkowym:
Wektor, którego długość wynosi zero (czyli taki, którego koniec i początek pokrywają się), nazywamy wektorem zerowym:
Długość wektora \vec{u}=(u_1;u_2) obliczamy za pomocą twierdzenia Pitagorasa \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}
W powyższym trójkącie zaznaczonym na szaro długość wektora to długość przeciwprostokątnej. Przyprostokątne mają długość u_1 i u_2.
Przykład: długość wektora
Oblicz długość wektora przedstawionego na rysunku:
Wektor ma współrzędne \vec{u}=(-3;2), jego długość wynosi
\left| \vec{u} \right|=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13}
