Lista notatek
Odcinki
Podtematy
Długość odcinka w ukł. współrzędnych
Długość odcinka w układzie współrzędnych obliczamy w taki sam sposób jak odległość między punktami w układzie współrzędnych.
Długość odcinka AB, gdzie A[x_A; y_A], B[x_B; y_B], wynosi:
|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}
Powyższy wzór wywodzi się z twierdzenia Pitagorasa.
Przykład: Długość odcinka EF: E[0;-1], F[-4;2]
- |EF| = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2}
- Podstawiamy współrzędne punktów E[0;-1] i F[-4;2]: \sqrt{(-4-0)^2 + (2-(-1))^2}=\sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5
- Długość odcinka wynosi: |EF|=5
Środek odcinka w ukł. współrzędnych
Środek odcinka dzieli odcinek na dwie równe części. Jeżeli końce odcinka AB leżą na osi liczbowej, a ich położeniu odpowiadają wartości a i b, to środku odcinka S odpowiada liczba s=\frac{a+b}{2}. Środek odcinka jest więc „średnią arytmetyczną“ jego końców.
Dla odcinka w układzie współrzędnych sytuacja wygląda następująco: 
Mamy tu dwie osie. I znów, aby wyznaczyć współrzędne środka odcinka, musimy obliczyć średnie arytmetyczne poszczególnych współrzędnych końców odcinka.
Zatem środek S[s_1;s_2] odcinka AB, gdzie A[x_A; y_A], B[x_B; y_B] ma współrzędne:
s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
Przykład: wyznacz środek odcinka
Znajdź środek odcinka AB: A[6;-1], B[2;3]
- Współrzędne środka S[s_1;s_2]: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
- Podstawiamy współrzędne punktów A[6;-1], B[2;3]: s_1 = \frac{6+2}{2}=4, s_2 = \frac{-1+3}{2}=1
- Środkiem odcinka AB jest punkt S[4;1]
Przykład: wyznacz drugi koniec odcinka
Wyznacz współrzędne drugiego końca odcinka AB, jeżeli dany jest punkt A[-3;0] oraz środek odcinka S[1;3].
- Współrzędne środka S[s_1;s_2]: s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}
- Podstawiamy współrzędne punktów A[-3;0], S[1;3]: 1 = \frac{-3+x_B}{2}, 3 = \frac{0+y_B}{2}
- Obliczamy niewiadome x_B, y_B: 2=-3+x_B\Rightarrow x_B=5\\ 6=0+y_B\Rightarrow y_B=6
- Punkt B ma współrzędne [5;6].
Długość odcinka w przestrzeni
Długość odcinka w przestrzeni obliczamy tak samo jak odległość między punktami w przestrzeni.
Jeżeli dane są współrzędne A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B], długość odcinka AB wynosi:
|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}
Przykład: Długość odcinka EF: E[-2;0;1], F[-4;2;0]
- |EF| = \sqrt{(x_F-x_E)^2 + (y_F-y_E)^2+ (z_F-z_E)^2}
- Podstawiamy współrzędne punktów EF; E[-2;0;1], F[-4;2;0]:
\sqrt{(-4-(-2))^2 + (2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(-2)^2 + 2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3 - Długość odcinka wynosi: |EF|=3
