Lista notatek
Zbiory
Podtematy
Zbiory: pojęcia i oznaczenia
Zbiór to zestaw elementów. W zbiorze nie ma znaczenia kolejność elementów ani to, czy się powtarzają. Poniższe zbiory są zatem takie same:
- \{\square, \bigcirc, \triangle\}
- \{\bigcirc, \triangle, \square\}
- \{\square, \square, \square, \bigcirc, \bigcirc, \triangle\}
| Symbol | Znaczenie | Komentarz |
|---|---|---|
| \emptyset | zbiór pusty | |
| \overline{A} | dopełnienie | elementy, które nie należą do zbioru A |
| x \in A | należy do zbioru | elementy x należą do zbioru A |
| A \cap B | część wspólna | elementy, które należą do obu zbiorów A, B |
| A \cup B | suma zbiorów | elementy, które należą do któregokolwiek ze zbiorów A, B |
| A \setminus B | różnica | elementy, które należą do zbioru A, ale nie należą do zbioru B |
| A = B | równość | równość zbiorów A, B |
| A \subseteq B | podzbiór | wszystkie elementy zbioru A należą również do zbioru B |
| A \subset B | podzbiór właściwy | A jest podzbiorem B i jednocześnie A \neq B |
| |A| | moc zbioru | liczba elementów zbioru |
| A \cap B = \emptyset | zbiory rozłączne | zbiory A, B nie mają żadnego elementu wspólnego |
Notacja zbiorów, zbiory liczbowe
Zbiory zapisujemy wielkimi literami. Najważniejsze zbiory liczbowe mają w matematyce swoje oznaczenia:
| \mathbb{N} | zbiór liczb naturalnych |
| \mathbb{Z} | zbiór liczb całkowitych |
| \mathbb{Q} | zbiór liczb wymiernych |
| \mathbb{R} | zbiór liczb rzeczywistych |
Pozostałe zbiory zapisujemy na dwa sposoby:
Zapis z wyliczeniem – zapisujemy elementy zbioru w nawiasach klamrowych. Na przykład A = \{3, 7, 9\} jest to zbiór trójelementowy zawierający liczby 3, 7 i 9.
Zapis za pomocą warunku – określamy, jaki warunek muszą spełniać elementy zbioru. Na przykład A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \lt 10\} to zbiór liczb naturalnych mniejszych niż 10.
Do góryWłasności zbiorów i działań na zbiorach
- Każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem: A\subseteq A
Przykłady A\subseteq B
Przykłady zbiorów A, B spełniających warunek A \subseteq B:
- A = \{11, 50, 415\}, B = \{11, 50, 333, 415\}
- A = \{1,4,8\}, B = \{1,4,8\}
- A = zbiór wszystkich liczb naturalnych, B = zbiór wszystkich liczb całkowitych
- Zbiór nie może być swoim podzbiorem właściwym: A\not\subset A
Przykłady A\subset B i A \not\subset B
Przykłady zbiorów A, B spełniających warunek A \subset B:
- A = \{11, 50, 415\}, B = \{11, 50, 333, 415\} (ponieważ liczba 333 znajduje się w zbiorze B)
- A = zbiór wszystkich liczb naturalnych, B = zbiór wszystkich liczb całkowitych (liczby ujemne znajdują się w zbiorze wszystkich liczb całkowitych, ale nie znajdują się w zbiorze wszystkich liczb naturalnych).
Przykłady zbiorów, dla których A \not\subset B:
- A = \{1, 4, 8\}, B = \{1,4,8\} ponieważ w B nie ma żadnego elementu, którego nie byłoby w A)
- Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru: \emptyset \subseteq A
- Zbiór pusty nie ma żadnego podzbioru.
- A \subseteq A \cup B
- A \cap B \subseteq A
- A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A=B
Diagramy Venna
Diagram Venna przedstawia wszystkie możliwe relacje między kilkoma zbiorami. Elementy zbiorów są przedstawiane jako punkty na płaszczyźnie, a zbiory jako obszary ograniczone krzywymi. Najczęściej stosuje się diagramy Venna dla dwóch i trzech zbiorów, w których zbiory przedstawione są za pomocą okręgów. Można również tworzyć diagramy Venna dla większej liczby zbiorów, jednak w tym przypadku okręgi nie wystarczą (takie diagramy są mało czytelne i dlatego nie są zbyt często stosowane).
Typowy diagram Venna dla trzech zbiorów:
Przykład z konkretnymi elementami (zbiór A zawiera czerwone figury, zbiór B zawiera kółka, a zbiór C zawiera figury wypełnione):
Diagramy Venna wykorzystujemy na przykład do graficznego przedstawiania operacji na zbiorach. Poniższy rysunek ilustruje B∩(A∪C):
