Świetnie, odznaka %% zdobyta
Wektory: iloczyn skalarny » Wpisywanie odpowiedzi »
Wektory: iloczyn skalarny
Wpisywanie odpowiedzi
Dostęp bez ograniczeńKorzystasz z platformy z limitem dziennym na liczbę odpowiedzi. Aby zwiększyć limit lub uzyskać dostęp do konta z licencją, zaloguj się.
Zaloguj się
GKUkod QR
Kod / krótki adres
Skopiuj kliknięciem.
Wektory: iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny wektorów \vec{u} i \vec{v} zapisujemy jako \vec{u}\cdot \vec{v}. Dla wektorów \vec{u}, \vec{v} o długościach \left| \vec{u} \right| i \left| \vec{v} \right|, które tworzą kąt \alpha, iloczyn skalarny jest zdefiniowany następująco:
\vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha
Własności iloczynu skalarnego
- Wynikiem iloczynu skalarnego dwóch wektorów jest liczba (inaczej skalar).
- Iloczyn skalarny wektora zerowego i innego dowolnego wektora jest zawsze równy 0.
- Iloczyn skalarny wektorów, które są do siebie prostopadłe, również jest równy zeru.
Obliczanie za pomocą współrzędnych
Jeżeli mamy współrzędne wektorów \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), to wartość ich iloczynu skalarnego jest równa:
u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2
Inne typy iloczynów wektorów
Oprócz iloczynu skalarnego istnieją także inne typy iloczynów wektorów (iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany), dlatego ważne jest, aby zawsze zaznaczyć, o jaki rodzaj iloczynu chodzi.
Przykład: iloczyn skalarny wektorów
Oblicz iloczyn skalarny wektorów, jeżeli wiadomo, że \left| \vec{u} \right|=4, \left| \vec{v} \right|=3, a wektory tworzą kąt 60°.
- Wzór: \vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha
- Podstawiamy znane wartości: \vec{u}\cdot \vec{v}=4\cdot3\cdot \cos 60°=4\cdot3\cdot\frac{1}{2}=6
Wyznaczanie kąta między dwoma wektorami
Korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny, możemy wyznaczyć kąt między wektorami: \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}
Przykład: kąt między wektorami
Wyznacz kąt wektorów \vec{u}=(3;3) i \vec{v}=(2;0).
- Wiemy, że \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}.
- Za pomocą znanych współrzędnych wektorów możemy obliczyć iloczyn skalarny \vec{u}\cdot\vec{v} i długość wektorów \left| \vec{u} \right|, \left| \vec{v} \right|:
- \vec{u}\cdot \vec{v}=u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2=3\cdot2+3\cdot0=6
- \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2 + u_2^2}=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}
- \left| \vec{v} \right|=\sqrt{v_1^2 + v_2^2}=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt{4}
- Podstawiamy te wartości do wzoru na \cos \alpha:
- \cos \alpha =\frac {6}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{4}}=\frac{6}{3\sqrt{2}\cdot2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
- Kąt między wektorami jest równy 45°.
Wektory: iloczyn skalarny (trudne)
