Pierwiastki
Memory
Pierwiastki
Pierwiastkowanie w matematyce jest częściowo działaniem odwrotnym do potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z liczby x to taka nieujemna liczba a, dla której a^2 = x. Pierwiastek kwadratowy oznaczamy symbolem \sqrt{x}.
Przykłady: pierwiastek kwadratowy
- \sqrt{9} = 3, ponieważ 3^2 = 9
- \sqrt{25} = 5, ponieważ 5^2 = 25
- \sqrt{100} = 10, ponieważ 10^2 = 100
Ogólnie pierwiastek n-tego stopnia z liczby x to taka liczba a, dla której zachodzi a^n = x. Pierwiastek n-tego stopnia oznaczamy symbolem \sqrt[n]{x}.
Przykłądy: pierwiastki dowolnego stopnia
- \sqrt[3]{125} = 5, ponieważ 5^3 = 125
- \sqrt[5]{32} = 2, ponieważ 2^5 = 32
- \sqrt[4]{10 000} = 10, ponieważ 10^4 = 10 000
Pierwiastkowanie ma również znaczenie geometryczne. Jeśli mamy kwadrat o polu P, to długość jego boku jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z \sqrt{P}. Jeśli mamy sześcian o objętości V, to długość jego krawędzi jest równa pierwiastkowi sześciennemu z \sqrt[3]{V}. Pierwiastki często wykorzystujemy na przykład podczas stosowania twierdzenia Pitagorasa.
Wykres funkcji pierwiastkowej
Pierwiastki a liczby ujemne
Kiedy szukamy pierwiastka z 25, szukamy liczby, która podniesiona do kwadratu daje 25. Warunek ten spełnia zarówno 5\cdot 5, jak i (-5)\cdot (-5). Pierwiastek jest jednak z definicji liczbą nieujemną, dlatego \sqrt{25}=5.
Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać tylko z liczb nieujemnych, ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest zdefiniowany w zbiorze liczb rzeczywistych. Można jednak zdefiniować takie pierwiastki, wprowadzając liczby zespolone. Jest to bardzo ciekawe i przydatne zagadnienie, ale nie będziemy go tutaj omawiać.
W przypadku liczb rzeczywistych możemy obliczać pierwiastki z liczb ujemnych, jeśli stopień pierwiastka (n) jest nieparzysty.
Przykłady: pierwiastki liczb ujemnych
- \sqrt[3]{-8} = -2, ponieważ (-2)^3 = -8
- \sqrt[5]{-100 000} = -10, ponieważ (-10)^5 = -100 000
Pierwiastki (trudne)
Od tego momentu przykłady mogą się potwarzać.
