Działania i własności na płaszczyźnie

Działania na płaszczyźnie pozwalają przekształcać figury, zmieniając ich położenie, kierunek lub rozmiar. Wyróżniamy kilka podstawowych przekształceń:

• Symetria osiowa – tworzymy „lustrzane odbicie” figury względem prostej.
• Symetria środkowa – przekształcamy figurę względem punktu.
• Przystawanie – dwie figury są przystające, jeśli „mają taki sam kształt i rozmiar” (mogą różnić się obrotem i położeniem).
• Obrót – obracamy figurę wokół określonego punktu o określony kąt, zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub w kierunku przeciwnym.
• Przesunięcie – przesuwamy figurę o określoną odległość w określonym kierunku.
• Podobieństwo – dwie figury są podobne, jeśli „mają taki sam kształt” (mogą różnić się rozmiarem, obrotem i położeniem).
• Jednokładność – odległości punktów figury od danego punktu zmieniają się w określonym stosunku.

Podtemat Rodzaje przekształceń na płaszczyźnie dotyczy rozróżniania poszczególnych przekształceń.

Na podstawie rozmiaru i położenia figur na płaszczyźnie można określić, czy jedna figura jest obrazem drugiej w wyniku określonego przekształcenia geometrycznego.

Na rysunku przedstawiono obraz trójkąta w wyniku następujących przekształceń:

• symetrii osiowej względem osi o
• symetrii środkowej względem środka S
• przesunięcia wyznaczonego przez wektor \overrightarrow{PQ}
• obrotu o środku S i kącie zorientowanym \alpha
• jednokładności o środku S i współczynniku -2

Symetria osiowa jest określona przez prostą o i przyporządkowuje każdemu punktowi X spoza osi taki punkt X', że prosta o jest osią odcinka XX'. Innymi słowy, obraz ma taką samą odległość od osi jak punkt pierwotny, a odcinek łączący te dwa punkty jest prostopadły do osi. Symetria osiowa zachowuje odległości i kąty, więc jest przekształceniem przystającym.

Przykłady

Niebieskie i pomarańczowe figury są symetryczne względem osi o:

Dla lepszego zrozumienia warto porównać symetrię osiową i środkową.

Figura osiowosymetryczna

Figurę nazywamy osiowosymetryczną, jeśli w pewnej symetrii osiowej jest obrazem samej siebie. Prostą, względem której występuje taka symetria, nazywamy osią figury. Poniższa ilustracja przedstawia przykłady figur osiowosymetrycznych (zielone, z zaznaczonymi osiami symetrii) oraz figur niesymetrycznych (czerwone):

Inne przykłady:

• Odcinek jest osiowosymetryczny i ma jedną oś symetrii w płaszczyźnie (prostą prostopadłą w jego środku).
• Trójkąt równoramienny jest osiowosymetryczny.
• Trójkąt, który nie jest równoramienny, nie jest osiowosymetryczny.
• Wszystkie wielokąty foremne są osiowosymetryczne. Liczba osi symetrii jest równa liczbie wierzchołków.
• Koło jest osiowosymetryczne i ma nieskończenie wiele osi symetrii.

Symetria środkowa jest symetrią względem punktu S. Każdemu punktowi X przyporządkowuje taki punkt X', że punkt S jest środkiem odcinka XX'. Innymi słowy: obraz ma taką samą odległość od środka symetrii jak punkt pierwotny i leży na półprostej przeciwnej do SX.

Symetria środkowa zachowuje odległości i kąty, jest więc rodzajem przystawania. Symetria środkowa o środku w punkcie S jest równoważna obrotowi o 180 stopni względem środka symetrii S.

Przykłady

Niebieskie i pomarańczowe figury są środkowosymetryczne względem punktu S:

W lepszym zrozumieniu pomoże nam porównanie symetrii środkowej i osiowej.

Figura środkowosymetryczna

Figurę nazywamy środkowosymetryczną, jeśli w pewnej symetrii środkowej jest ona obrazem samej siebie. Środek tej symetrii środkowej nazywamy środkiem symetrii obiektu. Poniższy rysunek przedstawia przykłady figur środkowosymetrycznych (zielone, z zaznaczonym środkiem symetrii) oraz figur niesymetrycznych (czerwone).

Inne przykłady:

• Odcinek, prostokąt, kwadrat, romb, sześciokąt foremny oraz okrąg są środkowosymetryczne.

• Żaden trójkąt nie jest środkowosymetryczny.

Dwie figury geometryczne są przystające, jeżeli mają ten sam kształt i wielkość. Na poniższym rysunku figury przystające mają ten sam kolor.

Oznaczanie

Mamy dwie figury, np. dwa trójkąty ABC i GEF.

• \left|AB\right|=\left|GE\right|
• \left|BC\right|=\left|EF\right|
• \left|AC\right|=\left|GF\right|

Powyższe trójkąty mają boki tej samej długości, więc są przystające. Zapiszemy to w następujący sposób ABC \cong GEF. Uważaj na kolejność liter. Jest ona bardzo ważna, ponieważ kolejność liter w nazwie trójkąta wskazuje nam, który z wierzchołków ABC odpowiada danemu wierzchołkowi w trójkącie GEF. \left|AB\right|=\left|GE\right|, ale \left|AB\right|\neq \left|EF\right|, czyli ABC \ncong EFG.

Dwie figury geometryczne są podobne, jeżeli mają taki sam kształt (niezależnie od wielkości). Na poniższym rysunku figury podobne mają ten sam kolor:

Dokładniej rzecz biorąc, figury są podobne, jeżeli możemy przekształcić jedną figurę na drugą, a to poprzez równomierne zmniejszenie lub zwiększenie oraz przesunięcie, obrócenie lub odwrócenie.

Podobieństwo zachowuje miary kątów i stosunek długości.

Stosunek długości odpowiednich odcinków w obu figurach nazywamy skalą podobieństwa.

Obrót (rotacja) jest dany przez punkt S oraz kąt skierowany \alpha. Punkt S nazywamy środkiem obrotu. Pojęcie kąta skierowanego oznacza, że rozróżniamy, czy obrót odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (kierunek dodatni), czy zgodnie z ruchem wskazówek zegara (kierunek ujemny). Obrazem punktu X jest punkt X', jest w tej samej odległości od środka S co punkt X, a kąt XSX' ma miarę \alpha.

Przykłady

Punkt X jest obrócony wokół środka S o 90^\circ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Punkt Y jest obrócony wokół środka S o 90^\circ zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czyli o kąt \alpha=-90^\circ.

Trójkąt ABC jest obrócony wokół środka S o 60^\circ zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czyli o kąt \alpha=-60^\circ.

Obrót zachowuje odległości i kąty, dlatego jest przekształceniem przystającym (izometrią).