Lista notatek
Kąty
Podtematy
Kąt jest częścią płaszczyzny wyznaczoną przez dwie półproste. Miarę kąta podajemy najczęściej w stopniach, przy czym kąt pełny ma 360°. Kąty wykorzystujemy w wielu dziedzinach geometrii, mają one również praktyczne zastosowanie w fizyce, nawigacji (azymuty) oraz wszędzie tam, gdzie coś budujemy.
Na początek warto nauczyć się szacować miarę kąta, czyli określić jego wartość bez użycia kątomierza. Kolejnym krokiem jest przyswojenie pojęć związanych z kątami, takich jak np. kąt ostry, prosty, rozwarty, wierzchołkowy czy naprzemianległy.
Kiedy już opanujemy powyższe podstawy, możemy przejść do zadań z kątami w figurach geometrycznych:
Do bardziej zaawansowanych zagadnień należą radiany, które są alternatywnym sposobem wyrażania miar kątów. Spotykamy się z nimi najczęściej przy okazji omawiania funkcji trygonometrycznych.
Kąty i żółwie
Ciekawą propozycją na opanowanie podstawowych miar kątów jest Grafika żółwia na Umiemy informatykę.
Kąty w trójkącie
Aby obliczyć miarę nieznanego kąta w trójkącie, korzystamy z podstawowej zasady, która mówi, że suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.
Szczególne przypadki:
- W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają 60°.
- W trójkącie równoramiennym obydwa kąty przy podstawie są takie same.
- W trójkącie prostokątnym jeden kąt ma 90°, a suma dwu pozostałych kątów również wynosi 90°.
Do obliczenia miary kąta możemy również wykorzystać kąty wierzchołkowe i przyległe.
Przykład: Oblicz miarę kąta zaznaczonego na pomarańczowo.
Kąt przy wierzchołku B tworzy parę kątów wierzchołkowych z kątem o mierze 30°, zatem będzie miał 30°. Z kolei kąt przy wierzchołku A tworzy parę kątów przyległych z kątem o mierze 100°, zatem będzie miał 180°-100°=80°. Obliczamy miarę niewiadomego kąta przy wierzchołku C: 180°-80°-30°=70°
Kąty w czworokącie
Kwadrat, prostokąt
- Wszystkie kąty w kwadracie i prostokącie mają 90°.
- Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem 90°.
Równoległobok
- Przeciwległe kąty są równe.
- Suma miar sąsiadujących kątów wynosi 180°.
- Specjalnym przykładem równoległoboku jest romb, którego przekątne tworzą kąt prosty.
Trapez
- Suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu wynosi 180°.
- W trapezie równoramiennym kąty leżące przy tej samej podstawie są równe.
Obliczając miarę nieznanego kąta, możemy podzielić dany czworokąt na kilka trójkątów lub skorzystać z kątów wierzchołkowych i przyległych.
Przykład: Wyznacz miarę pomarańczowego kąta w równoległoboku ABCD.
W równoległoboku przeciwległe kąty mają taką samą miarę, czyli kąt ADC ma 115°. Kąt ADC tworzy z nieznanym kątem parę kątów przyległych. Czyli miara nieznanego kąta wynosi 180°-115°=65°.
Do góryKąty i wielokąty
Suma miar kątów wewnętrznych w wielokącie o n bokach (czyli n-kącie) wynosi 180^\circ\cdot(n-2). Na przykład suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie wynosi 180^\circ(5-2)=540^\circ. Każdy kąt wewnętrzny może mieć inną miarę.
Wielokąty foremne
- Każdy kąt wewnętrzny w wielokącie foremnym o n wierzchołkach ma miarę 180^\circ\cdot\frac{n-2}{n}. Na przykład w ośmiokącie foremnym każdy kąt wewnętrzny ma miarę 180^\circ\cdot\frac{8-2}{6}=135^\circ.
- Miara kąta środkowego w n-kącie foremnym wynosi \frac{360^\circ}{n}. Na przykład w ośmiokącie foremnym każdy kąt środkowy ma miarę \frac{360^\circ}{8}=45^\circ.
Do obliczenia miary nieznanego kąta w wielokącie można skorzystać również z kątów wierzchołkowych i przyległych.
Przykład: Oblicz miarę kąta
Oblicz miarę kąta zaznaczanego na pomarańczowo w sześciokącie foremnym ABCDEF.
W sześciokącie foremnym każdy kąt ma taką samą miarę, wynoszącą 180^\circ\cdot\frac{6-2}{6}=120^\circ. Zatem kąt ABC będzie miał miarę 120^\circ. Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym, a kąty przy wierzchołkach A i C są takie same. Ich miara wynosi (180^\circ-120^\circ):2=30^\circ.
Kąty i okrąg
Kąt środkowy
- Kąt, którego wierzchołek leży w środku S okręgu i którego ramiona przecinają okrąg w punktach A, B. Mówimy, że kąt środkowy jest oparty na łuku AB.
- Dla dwóch dowolnych punktów na okręgu można wyznaczyć dwa kąty środkowe. Dzieje się tak dlatego, że dwa dowolne punkty dzielą okrąg na dwa łuki.
Kąt wpisany w okrąg
- Kąt, którego wierzchołek V leży na okręgu i którego ramiona przecinają okrąg w punktach A, B (A \neq V \neq B).
- Wszystkie kąty wpisane, które obejmują łuk AB i których wierzchołek V nie leży na łuku, mają taką samą miarę.
- Miara kąta środkowego \omega jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego \varphi obejmującego ten sam łuk, \omega = 2\cdot\varphi.
- Twierdzenia Talesa: Kąt wpisany nad średnicą okręgu jest kątem prostym.
Kąt dopisany do okręgu
- Kąt między cięciwą AB okręgu i styczną t do tego okręgu w punkcie A lub B.
- Miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanego nad łukiem AB.
Przykład 1: Oblicz miarę kąta
Oblicz miarę kąta zaznaczonego na pomarańczowo.
Kąt o mierze 55^\circ jest kątem dopisanym do okręgu. Wiemy, że miary kąta dopisanego i odpowiedniego kąta wpisanego są takie same, czyli wynoszą 55^\circ. Niewiadomy kąt jest kątem środkowym obejmującym mniejszy łuk AB. Jego miara jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego, czyli wynosi 2\cdot55^\circ=110^\circ.
Przykład 2: Oblicz miarę kąta
Oblicz miarę kąta zaznaczonego na pomarańczowo.
Niewiadomy kąt jest kątem wpisanym nad mniejszym łukiem o końcach w punktach 2 i 7. Obliczamy miarę odpowiedniego kąta środkowego. Z rozdziału kąty i wielokąty wiemy, że miara kąta środkowego n-kąta foremnego wynosi \frac{360^\circ}{n}. Zatem dla dwunastokąta foremnego kąt między odcinkami łączącymi dwa sąsiednie wierzchołki a środkiem \frac{360^\circ}{12}=30^\circ. Kąt środkowy obejmujący łuk 2 i 7 i ma miarę 5\cdot30^\circ=150^\circ. Szukany kąt wpisany jest o połowę mniejszy, czyli jego miara wynosi 150^\circ:2=75^\circ.
