Lista notatek
Objętość i pole powierzchni całkowitej
Podtematy
Objętość i pole powierzchni całkowitej
Objętość bryły jest miarą „ilości” miejsca zajmowanego przez bryłę w przestrzeni. Możemy ją sobie wyobrazić jako ilość wody, której potrzebowalibyśmy, gdybyśmy chcieli „napełnić” bryłę. Objętość wyrażamy w jednostkach objętości.
Pole powierzchni całkowitej bryły jest sumą pól wszystkich jej ścian. Możemy je sobie wyobrazić jako wielkość kolorowego papieru, który potrzebujemy do „oklejenia” bryły. Pole powierzchni całkowitej wyrażamy w jednostkach pola powierzchni.
Oznaczenia we wzorach
| V | objętość |
| P_c | pole powierzchni całkowitej |
| P_p | pole podstawy |
| P_b | pole powierzchni bocznej |
| a, b, c | długości krawędzi |
| r | promień |
| h | wysokość |
| l | tworząca stożka |
Wzory
| Bryła | Objętość | Pole powierzchni całkowitej |
|---|---|---|
| sześcian | V = a^3 | P_c=6a^2 |
| prostopadłościan | V = abc | P_c = 2(ab+ac+bc) |
| kula | V=\frac43\pi r^3 | P=4\pi r^2 |
| walec | V=P_p\cdot h =\pi r^2 h | P_c=2P_p+P_b =2\pi r(r+h) |
| stożek | V=\frac{1}{3}P_p\cdot h =\frac13 \pi r^2 h | P_c =P_p+P_b =\pi r(r+\sqrt{r^2+h^2})=\pi r^2 +\pi rl |
| ostrosłup | V=\frac{1}{3}P_p\cdot h | P_c=P_p+P_b |
| ostrosłup prawidłowy czworokątny | V=\frac{1}{3}P_p\cdot h=\frac{1}{3} a^2h | |
| graniastosłup | V= P_p\cdot h | P_c=2\cdot P_p+P_b |
Pole powierzchni całkowitej kuli
Pole powierzchni kuli o promieniu r obliczamy za pomocą wzoru: P=4 \pi \cdot r^2
Do góryPole powierzchni całkowitej brył obrotowych
Pole powierzchni całkowitej brył obrotowych obliczamy z zastosowaniem liczby \pi \approx 3{,}14 159 265. We wzorach r oznacza promień (kuli lub podstawy), h wysokość walca, l tworzącą stożka.
- Pole powierzchni kuli wynosi P = 4\pi r^2.
- Pole powierzchni całkowitej walca to suma pól powierzchni dwóch podstaw oraz pola powierzchni bocznej: P_c = 2\cdot \pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r+h).
- Pole powierzchni całkowitej stożka to suma pola powierzchni podstawy oraz pola powierzchni bocznej: P_c = \pi r^2 + \pi rl= \pi r(r+l).
