Pole powierzchni i obwód

Obwód oznaczamy symbolem o. Obwód to suma długości wszystkich boków figury. W zrozumieniu, czym jest obwód, pomoże nam temat długość i obwód na kratce. Obwód mierzymy w jednostkach długości (np. centymetrach, metrach).

Pole powierzchni oznaczamy symbolem P. Pole powierzchni oznacza, ile „miejsca na powierzchni“ zajmuje figura. W zrozumieniu, czym jest obwód, pomoże nam temat pole powierzchni na kratce. Pole powierzchni mierzymy w jednostkach pola powierzchni (np. metrach kwadratowych, hektarach).

Aby obliczyć obwód trójkąta, należy dodać do siebie wszystkie długości boków: o=a+b+c

Przykład:

Trójkąt przedstawiony na rysunku ma boki długości a=10, b=8, c=14, czyli jego obwód wynosi o=a+b+c=10+8+14=32.

Obwód kwadratu o boku długości a jest równy o=a+ a+a+a= 4a.

Obwód prostokąta o bokach długości a,b jest równy o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obwód równoległoboku o bokach a,b jest równy o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Obwód trapezu jest sumą długości jego boków. Czyli obwód trapezu ABCD o bokach a,b,c,d obliczamy według wzoru o=a+b+c+d.

Wzór na obwód koła

Obwód koła (i okręgu) o promieniu r wynosi o=2 \pi r . Dla średnicy d jest to o = \pi d.

Liczba \pi, zwana też ludolfiną i stałą Archimedesa, jest liczbą niewymierną. Oznacza, że nie można jej zapisać w postaci ułamka zwykłego, a jej rozwinięcie jest nieskończone. Przybliżona wartość liczby \pi wynosi 3,141 592 65.

Obliczając obwód koła, musimy zwrócić szczególną uwagę na to, czy znamy promień r czy średnicę d = 2r. Zamiana promienia i średnicy jest bardzo częstym błędem.

Intuicja

W lepszym zrozumieniu wzoru na obwód koła może pomóc nam poniższy rysunek. Obwód pomarańczowego kwadratu wynosi 8\cdot r. Obwód koła jest „trochę mniejszy“ – czyli wynosi 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Długość łuku

Długość łuku, który na okręgu o promieniu r wyznaczony jest przez kąt środkowy \alpha, obliczamy jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Przykłady

• Długość łuku przedstawionego na rysunku wynosi: \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{4} \cdot 6 \pi = \frac{3}{2}\pi

• Długość całego okręgu (czyli dla całych 360^{\circ}) wynosi: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot r

Obwód trójkąta i czworokąta to po prostu suma długości wszystkich boków.

Wzór na pole koła

Pole koła o promieniu r wynosi P=\pi r^2. Dla średnicy d jest to P = \frac{1}{4} \pi d^2. Liczba \pi, zwana też ludolfiną i stałą Archimedesa, jest liczbą niewymierną. Oznacza to, że nie można jej zapisać za pomocą ułamka zwykłego, a jej rozwinięcie jest nieskończone. Przybliżona wartość \pi wynosi 3,141 592 65.

Obliczając pole koła, należy uważać, żeby nie zamienić promienia ze średnicą i odwrotnie.

Intuicja

W lepszym zrozumieniu wzoru na pole koła może pomóc nam poniższy rysunek. Żółte kwadraty mają pole r^2. Pomarańczowy kwadrat składa się z czterech żółtych kwadratów, czyli jego pole wynosi 4\cdot r^2. Pole koła jest „trochę mniejsze“ od pola pomarańczowego kwadratu, czyli wynosi w przybliżeniu 3{,}14 \cdot r^2.

Przykłady

• Mamy koło o promieniu 3 cm. Jego pole wynosi \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 cm².
• Mamy okrąg o średnicy 2 cm. Ogranicza on powierzchnię o polu \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 cm².
• Środkowe koło na boisku piłkarskim ma promień 9{,}1 m. Jeżeli chcielibyśmy pomalować trawę rosnącą w środku koła na różowo, musielibyśmy pomalować \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 m² trawy.