Ułamki dziesiętne

Ułamek dziesiętny to sposób zapisu liczby za pomocą części całkowitej i części ułamkowej, które oddzielone są przecinkiem dziesiętnym (separatorem dziesiętnym). Na przykład w zapisie 154,28 częścią całkowitą jest 154, a częścią ułamkową 28. Na pierwszym miejscu za przecinkiem dziesiętnym są części dziesiąte, na drugim części setne, a na trzecim części tysięczne.

Za pomocą ułamków dziesiętnych zapisujemy liczby, które nie są „całe“. Na przykład, jeżeli podzielimy 6 drożdżówek po równo pomiędzy 4 dzieci, to każde dziecko otrzyma „jeden i pół“ drożdżówki, które zapiszemy jako 1,5.

Komentarz do zapisu ułamków dziesiętnych. W Polsce do zapisu ułamków dziesiętnych zwyczajowo używamy przecinka dziesiętnego. W krajach anglosaskich używa się kropki dziesiętnej, tzn. zamiast 154,28 pisze się 154.28. Taki sposób zapisu używany jest również w informatyce na całym świecie.

Za pomocą ułamków dziesiętnych wyrażamy liczby, które nie są „całe“. Na przykład: Jeśli podzielimy 6 drożdżówek sprawiedliwie pomiędzy 4 dzieci, każde dziecko dostanie „jedną całą drożdżówkę i jeszcze połowę kolejnej“, co zapisujemy jako 1,5.

Na tej stronie znajdziesz podstawowe ćwiczenia dotyczące ułamków dziesiętnych:

• Ułamki dziesiętne: zapis słowny
• ⁠⁠⁠Porównywanie ułamków dziesiętnych – porównywanie dodatnich i ujemnych ułamków dziesiętnych
• Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych – zaokrąglanie do różnej liczby miejsc po przecinku
• Ułamki dziesiętne na osi liczbowej – umiejętność rozmieszczenia ułamków dziesiętnej na osi liczbowej pomoże nam w innych działaniach (np. przy zaokrąglaniu i porównywaniu)

Kolejny temat poświęcony jest działaniom na ułamkach dziesiętnych.

Ułamki (liczby) dziesiętne możemy czytać na różne sposoby. W szkole zazwyczaj używamy określeń takich jak „dziesiąte“, „setne“ i „tysięczne“, które oznaczają, ile cyfr występuje po przecinku. Przecinek czytamy jako „i“.

W życiu codziennym bardzo często używamy bardziej „łopatologicznego" sposobu, czyli po prostu czytamy wszystkie liczby po kolei, a oddzielający je przecinek czytamy po prostu jako… „przecinek“.

Czasem ułamek dziesiętny możemy również przeczytać tak, jakby był ułamkiem zwykłym, lub opisowo:

Porównując ułamki dziesiętne, musimy znaleźć „najważniejszy“ element, którym różnią się od siebie, a następnie wykonać porównanie na jego podstawie. Czyli najpierw porównujemy części całkowite. Jeżeli części całkowite są takie same, przechodzimy do porównywania kolejnych cyfr, czyli części dziesiątych, setnych, tysięcznych itd. Nie zapomnijmy skontrolować znaku, który ma takie same znaczenie jak w przypadku liczb całkowitych. Przykłady:

• 15{,}3 < 17{,}9987 – ułamki różnią się częścią całkowitą, czyli na potrzeby porównania możemy całkowicie zignorować części ułamkowe.

• 0{,}2 > 0{,}17 – części całkowite są takie same, zatem bierzemy pod uwagę części dziesiąte, gdzie 2>1. W przykładach tego typu często popełniany jest błąd, który wynika z tego, że na pierwszy rzut oka wydaje się, że 17 > 2. Dla ułatwienia warto rozszerzyć część ułamkową, czyli dodać zero z prawej strony: 0{,}20 > 0{,}17.

• 3{,}21 > -3{,}22 – tu w ogóle nie mają znaczenia części ułamkowe, ponieważ pierwsza liczba jest dodatnia, a druga ujemna.

• -4{,}2791 < -4{,}2758 – porównujemy na podstawie cyfr w miejscu części tysięcznych (9 i 5), wynik jest „odwrotny“, ponieważ są to liczby ujemne.

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych działa podobnie jak zaokrąglanie liczb całkowitych, z tą różnicą, że uwzględniamy również część po przecinku. W przypadku ułamków dziesiętnych jest ono szczególnie ważne, ponieważ czasami nie można go uniknąć – niektórych liczb w systemie dziesiętnym nie da się zapisać dokładnie, np. \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14 159\ldots

Zaokrąglanie do części dziesiątych oznacza, że zostawiamy tylko jedną cyfrę po przecinku. W tym celu sprawdzamy cyfrę stojącą na drugim miejscu po przecinku. Zaokrąglanie do części setnych oznacza, że zostawiamy tylko dwie cyfry po przecinku. W tym celu sprawdzamy cyfrę stojącą na trzecim miejscu po przecinku. Podobnie postępujemy przy większej dokładności. Podczas zaokrąglania obowiązuje zasada:

• jeśli cyfra jest z zakresu 0–4, zaokrąglamy w dół,
• jeśli cyfra jest z zakresu 5–9, zaokrąglamy w górę.

Przykłady:

• 3,628 zaokrąglone do części dziesiątych to 3,6.

• 3,628 zaokrąglone do części setnych to 3,63.

• 12,25 zaokrąglone do części dziesiątych to 12,3.

• 4,8975 zaokrąglone do liczby całkowitej to 5.

• 84,15 zaokrąglone do dziesiątek to 80 (uwaga na różnicę między zaokrąglaniem do „części dziesiątych” a do „dziesiątek”).

Podobnie jak w przypadku innych osi liczbowych, w pierwszej kolejności należy ustalić, jakie są odstępy pomiędzy punktami na osi liczbowej. W przypadku zadań z liczbami dziesiętnymi odstęp zazwyczaj wynosi 0,1 (jedną dziesiątą), ale może być też inny.

Na przykład:

Podczas dodawania i odejmowania ułamków dziesiętnych postępujemy tak samo jak w przypadku dodawania i odejmowania liczb całkowitych, z tą różnicą, że liczby muszą być “wyrównane” przecinkami. Można sobie pomóc (zwłaszcza podczas dodawania i odejmowania pod kreską), uzupełniając zera po prawej stronie, aby za przecinkiem było tyle samo cyfr.

Przykłady:

• 1{,}2+2{,}3 = 3{,}5

• 3{,}457+4{,}2 = 3{,}457+4{,}200 = 7{,}657

• 1{,}3-0{,}8 = 0{,}5

• 0{,}001+0{,}01+0{,}1 = 0{,}001+0{,}010+0{,}100 = 0{,}111

• 2{,}01-0{,}1 = 2{,}01 - 0{,}10 = 1{,}91

Mnożenie ułamków dziesiętnych możemy wykonać w następujący sposób: Mnożymy je tak samo jak liczby naturalne, nie zwracając uwagi na przecinek. Następnie w otrzymanym wyniku wstawiamy przecinek w taki sposób, aby liczba miejsc po przecinku była równa łączniej liczbie miejsc po przecinku w obu mnożonych ułamkach. Przykłady:

• 5 \cdot 0{,}4 – mnożymy 5\cdot 4 = 20, w wyniku wstawiamy przecinek, licząc 0+1=1 miejsce od końca, otrzymujemy 2{,}0, czyli 2.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05 – mnożymy 25\cdot 5=125, w wyniku wstawiamy przecinek, licząc 1+2=3 miejsca od końca, otrzymujemy 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8 – mnożymy 9\cdot 8=72, w wyniku wstawiamy przecinek, licząc 1+1=2 miejsca od końca, otrzymujemy 0,72.

Otrzymany wynik można w łatwy i szybki sposób sprawdzić za pomocą szacowania, zaokrąglając ułamki. W przykładzie 0{,}9 \cdot 0{,}8 oba czynniki są „trochę mniejsze od 1“, czyli wynik też musi być „trochę mniejszy niż 1\cdot 1“, w przykładzie 4{,}92\cdot 3{,}06 zaś możemy oszacować, że wynik powinien wynosić plus minus 5\cdot 3=15.

Dzielenie ułamków dziesiętnych możemy sobie znacząco ułatwić. Wystarczy, że pozbędziemy się części ułamkowej, mnożąc dzielną i dzielnik przez taką wartość, aby otrzymać liczby całkowite (czyli przez liczbę 10 lub jej wielokrotność). Następnie możemy wykonać zwykłe dzielenie. Przykłady:

• 8:0{,}2 = 80:2 = 40
• 1:0{,}05 = 100:5 = 20
• 2{,}5:2 = 25:20 = 1{,}25

Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Ułamek dziesiętny mnożymy przez 10, 100, 1000 (lub inną odpowiednią potęgę liczby 10), aby „pozbyć się” przecinka. Następnie przy pomocy największego wspólnego dzielnika doprowadzamy otrzymany ułamek do najprostszej postaci, czyli skracamy go.

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Warto zapamiętać kilka najczęstszych przykładów, dzięki którym szybciej rozwiążemy inne, bardziej skomplikowane zadania.

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Wartość ułamka zwykłego to iloraz licznika i mianownika. Zatem aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, wystarczy podzielić licznik przez mianownik (można zastosować metodę dzielenia „pod kreską”).

Przykłady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15