Figury płaskie

Figury płaskie są zbiorami punktów na płaszczyźnie. Są to zatem figury dwuwymiarowe. Do najbardziej znanych figur płaskich należą kwadrat, prostokąt, trójkąt, okrąg, koło, równoległobok, trapez, wielokąt foremny lub nieforemny.

W przypadku niektórych figur płaskich możemy łatwo obliczyć ich obwód i pole powierzchni.

Twierdzenie Pitagorasa opisuje zależność pomiędzy długościami boków trójkąta prostokątnego. Brzmi ono: Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Twierdzenie Pitagorasa możemy zapisać w następujący sposób c^2 = a^2 + b^2, gdzie c to długość przeciwprostokątnej, a a i b to długości przyprostokątnych.

Poniższy rysunek to tzw. graficzny dowód twierdzenia Pitagorasa:

Znajduje on zastosowanie również w odwrotnym kierunku. Jeżeli suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie Pitagorasa ma w geometrii bardzo szerokie zastosowanie, ponieważ wiele figur możemy „rozłożyć” na trójkąty prostokątne.

Typowym przykładem zastosowania twierdzenia Pitagorasa jest obliczanie długości przekątnej kwadratu lub wysokości trójkąta równobocznego.

Przekątna kwadratu o boku a jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość a. Zatem dla długości przekątnej d zachodzi d^2 = a^2 + a^2. Po przekształceniu: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Na przykład kwadrat o boku 10 cm będzie miał przekątną o długości 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 cm.

Wysokość w trójkącie równobocznym o boku a jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego, którego druga przyprostokątna ma długość \frac{a}{2}, a przeciwprostokątna a. Zatem dla wysokości h zachodzi h^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po przekształceniu: h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, h = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Na przykład w trójkącie równobocznym o boku 5 metrów wysokość wynosi \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 m.

Aby obliczyć miarę nieznanego kąta w trójkącie, korzystamy z podstawowej zasady, która mówi, że suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.

Szczególne przypadki:

• W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają 60°.
• W trójkącie równoramiennym obydwa kąty przy podstawie są takie same.
• W trójkącie prostokątnym jeden kąt ma 90°, a suma dwu pozostałych kątów również wynosi 90°.

Do obliczenia miary kąta możemy również wykorzystać kąty wierzchołkowe i przyległe.

Przykład: Oblicz miarę kąta zaznaczonego na pomarańczowo.

Kąt przy wierzchołku B tworzy parę kątów wierzchołkowych z kątem o mierze 30°, zatem będzie miał 30°. Z kolei kąt przy wierzchołku A tworzy parę kątów przyległych z kątem o mierze 100°, zatem będzie miał 180°-100°=80°. Obliczamy miarę niewiadomego kąta przy wierzchołku C: 180°-80°-30°=70°

Prostokąt zaliczamy do czworokątów. Jest to równoległobok, którego wszystkie kąty są proste.

Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta o wszystkich bokach tej samej długości.

Obwód kwadratu o boku długości a jest równy o=a+ a+a+a= 4a.

Obwód prostokąta o bokach długości a,b jest równy o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Szczególne przypadki równoległoboku:

• Romb ma wszystkie boki tej samej długości.
• Prostokąt ma wszystkie kąty wewnętrzne proste.
• Kwadrat ma wszystkie kąty wewnętrzne proste i wszystkie boki tej samej długości.

Konstrukcje równoległoboków

Równoległobok jest szczególnym przypadkiem czworokąta, który posiada dwie pary boków równoległych. Przy rozwiązywaniu zadań konstrukcyjnych korzystamy z następujących własności równoległoboków:

• Przeciwległe boki są równoległe.
• Dwa przeciwległe boki są zawsze tej samej długości.
• Przekątne równoległoboku nie są tej samej długości, ale dzielą się na połowy i przecinają się w środku figury.
• Przeciwległe kąty mają taką samą miarę.
• Suma miar kątów leżących przy jednym boku wynosi 180°.

Do skonstruowania równoległoboku potrzebujemy trzech danych, z których często możemy na podstawie cech BBB, BKB, KBK najpierw zbudować trójkąt o wierzchołkach leżących w trzech wierzchołkach równoległoboku. Ostatni wierzchołek równoległoboku możemy następnie wyznaczyć, korzystając z równoległości boków lub równości przeciwległych boków.

Konstrukcje rombów

Romb jest szczególnym przypadkiem równoległoboku, w którym wszystkie boki są takiej samej długości. Jego przekątne mają dodatkowo dwie specjalne właściwości: są prostopadłe do siebie i dzielą kąty wewnętrzne na pół. Podobnie jak kwadrat, romb można wpisać w okrąg.

Obwód równoległoboku o bokach a,b jest równy o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Trapez to czworokąt mający (przynajmniej) jedną parę boków równoległych. Boki równoległe nazywamy podstawami, a pozostałe ramionami.

Trapez prostokątny to trapez mający dwa kąty proste (podstawy trapezu są równoległe, zatem jeżeli kąt między ramieniem a jedną podstawą jest prosty, to kąt między tym ramieniem a drugą podstawą też musi być prosty).

Trapez równoramienny to trapez mający ramiona tej samej długości.

Obwód trapezu jest sumą długości jego boków. Czyli obwód trapezu ABCD o bokach a,b,c,d obliczamy według wzoru o=a+b+c+d.

Okrąg o środku S i promieniu r to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie oddalonych od środka dokładnie o r. Dla każdego punktu na płaszczyźnie możemy określić jego położenie:

• na okręgu (odległość od S jest równa r)
• poza okręgiem, po jego wewnętrznej stronie (odległość od S jest mniejsza niż r)
• poza okręgiem, po jego zewnętrznej stronie (odległość od S jest większa niż r)

Koło o środku S i promieniu r to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, których odległość od środka jest mniejsza lub równa r. Innymi słowy, koło o środku S i promieniu r to okrąg o środku S i promieniu r wraz z płaszczyzną ograniczoną przez ten okrąg. Środek S koła jest częścią koła, zaś środek S okręgu leży poza nim.

Wzór na obwód koła

Obwód koła (i okręgu) o promieniu r wynosi o=2 \pi r . Dla średnicy d jest to o = \pi d.

Liczba \pi, zwana też ludolfiną i stałą Archimedesa, jest liczbą niewymierną. Oznacza, że nie można jej zapisać w postaci ułamka zwykłego, a jej rozwinięcie jest nieskończone. Przybliżona wartość liczby \pi wynosi 3,141 592 65.

Obliczając obwód koła, musimy zwrócić szczególną uwagę na to, czy znamy promień r czy średnicę d = 2r. Zamiana promienia i średnicy jest bardzo częstym błędem.

Intuicja

W lepszym zrozumieniu wzoru na obwód koła może pomóc nam poniższy rysunek. Obwód pomarańczowego kwadratu wynosi 8\cdot r. Obwód koła jest „trochę mniejszy“ – czyli wynosi 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Wzór na pole koła

Pole koła o promieniu r wynosi P=\pi r^2. Dla średnicy d jest to P = \frac{1}{4} \pi d^2. Liczba \pi, zwana też ludolfiną i stałą Archimedesa, jest liczbą niewymierną. Oznacza to, że nie można jej zapisać za pomocą ułamka zwykłego, a jej rozwinięcie jest nieskończone. Przybliżona wartość \pi wynosi 3,141 592 65.

Obliczając pole koła, należy uważać, żeby nie zamienić promienia ze średnicą i odwrotnie.

Intuicja

W lepszym zrozumieniu wzoru na pole koła może pomóc nam poniższy rysunek. Żółte kwadraty mają pole r^2. Pomarańczowy kwadrat składa się z czterech żółtych kwadratów, czyli jego pole wynosi 4\cdot r^2. Pole koła jest „trochę mniejsze“ od pola pomarańczowego kwadratu, czyli wynosi w przybliżeniu 3{,}14 \cdot r^2.

Przykłady

• Mamy koło o promieniu 3 cm. Jego pole wynosi \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 cm².
• Mamy okrąg o średnicy 2 cm. Ogranicza on powierzchnię o polu \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 cm².
• Środkowe koło na boisku piłkarskim ma promień 9{,}1 m. Jeżeli chcielibyśmy pomalować trawę rosnącą w środku koła na różowo, musielibyśmy pomalować \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 m² trawy.

Kąt środkowy

• Kąt, którego wierzchołek leży w środku S okręgu i którego ramiona przecinają okrąg w punktach A, B. Mówimy, że kąt środkowy jest oparty na łuku AB.
• Dla dwóch dowolnych punktów na okręgu można wyznaczyć dwa kąty środkowe. Dzieje się tak dlatego, że dwa dowolne punkty dzielą okrąg na dwa łuki.

Kąt wpisany w okrąg

• Kąt, którego wierzchołek V leży na okręgu i którego ramiona przecinają okrąg w punktach A, B (A \neq V \neq B).
• Wszystkie kąty wpisane, które obejmują łuk AB i których wierzchołek V nie leży na łuku, mają taką samą miarę.
• Miara kąta środkowego \omega jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego \varphi obejmującego ten sam łuk, \omega = 2\cdot\varphi.
• Twierdzenia Talesa: Kąt wpisany nad średnicą okręgu jest kątem prostym.

Kąt dopisany do okręgu

• Kąt między cięciwą AB okręgu i styczną t do tego okręgu w punkcie A lub B.
• Miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanego nad łukiem AB.

Długość łuku

Długość łuku, który na okręgu o promieniu r wyznaczony jest przez kąt środkowy \alpha, obliczamy jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Przykłady

• Długość łuku przedstawionego na rysunku wynosi: \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{4} \cdot 6 \pi = \frac{3}{2}\pi

• Długość całego okręgu (czyli dla całych 360^{\circ}) wynosi: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot r