Równania

Najprostsze równania, takie jak x+2 = 5 lub 3x = 15, można rozwiązać w jednym kroku. Innymi słowy, wystarczy wykonać jedną prostą operację (np. w pierwszym przypadku odjąć liczbę 2 od obu stron równania ). Takie równania można zazwyczaj rozwiązać również intuicyjnie – zastanawiając się, do jakiej liczby musimy dodać 2, abyśmy otrzymali 5. Są więc doskonałym punktem wyjścia do zapoznania się z tematyką równań.

Najprostsze równania to równania liniowe, czyli takie, w których występują tylko liczby (stałe) oraz niewiadoma x w pierwszej potędze. Takie równania rozwiązujemy metodą równań równoważnych: dodając lub odejmując taką samą liczbę lub niewiadomą po obydwu stronach równania oraz mnożąc lub dzieląc obydwie strony równania przez taką samą liczbę lub niewiadomą. Za pomocą takich przekształceń otrzymujemy równanie w postaci x = a, gdzie a to rozwiązanie równanie.

Liczba rozwiązań

W przypadku równań liniowych z jedną niewiadomą możemy spotkać się ze trzema sytuacjami:

• Równanie nie ma żadnego rozwiązania, np. x+2=x+3 (takie równanie nazywamy równaniem sprzecznym).
• Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, np. w przypadku równania x+1+x = 2x+1 rozwiązaniem może być dowolna liczba.
• Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, np. przytoczone wyżej równanie 2x-7 = 5-4x ma tylko jedno rozwiązanie x=2.

Częste błędy

Do częstych błędów przy rozwiązywaniu równań należą:

• przekształcenie równania (np. dodanie liczby, podzielenie przez liczbę) tylko po jednej stronie
• niepoprawne łączenie liczb i wyrażeń z x, np. przekształcenie 3x + 2 na 5x
• zły znak przy przenoszeniu wyrazów z jednej strony równania na drugą.

Równania z nawiasami możemy rozwiązywać w ten sam sposób co „zwykłe” równania, z tą różnicą, że w pierwszym kroku pozbywamy się nawiasów.

Jednak w niektórych przypadkach nie warto tracić czasu na wymnażanie nawiasów. Na przykład równanie 3(x+1) = 18 lepiej podzielić przez 3, dzięki czemu będzie ono miało postać x+1 = 6, z której możemy z łatwością obliczyć, że x=5.

Jeśli w równaniu pojawia się ułamek, w którym niewiadoma jest w mianowniku, to najpierw mnożymy całe równanie przez mianownik (albo przez wspólną wielokrotność wszystkich mianowników, jeśli jest ich więcej). W ten sposób pozywamy się ułamków i otrzymujemy równanie liniowe, które możemy je rozwiązać zwykłym sposobem.

Przykład

Równania z ułamkami zwykłymi rozwiązujemy podobnie jak „zwykłe” równania, z tą różnicą, że wykonujemy działania na ułamkach.

Często możemy uniknąć działań na ułamkach, mnożąc najpierw całe równanie przez wspólną wielokrotność wszystkich liczb w mianowniku ułamków.

Przykład rozwiązania

Równania z ułamkami dziesiętnymi rozwiązujemy podobnie jak „zwykłe” równania, pamiętając jedynie o regułach dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia ułamków dziesiętnych. Często możemy ułatwić sobie zadanie, mnożąc całe równanie przez dziesięć (lub przez wyższą potęgę liczby dziesięć).

Przykład