Geometria analityczna

Geometria analityczna łączy geometrię i algebrę. Pozwala nam przedstawić problemy geometryczne w postaci algebraicznej i rozwiązywać je za pomocą równań.

Najprostszymi obiektami, które można opisać analitycznie, są punkty, odcinki i wektory na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Gdy już potrafimy operować wektorami, możemy użyć ich na przykład do opisu prostej lub płaszczyzny.

W przypadku prostych i płaszczyzn nadal mamy do czynienia z obiektami, które można opisać za pomocą równań liniowych lub układów równań liniowych. Jeśli zajmiemy się również równaniami kwadratowymi, będziemy w stanie opisać krzywe stożkowe na płaszczyźnie, takie jak okrąg, elipsa, parabola czy hiperbola.

Dwa ważne typy problemów, które rozwiązujemy w ramach geometrii analitycznej, to zadania na położenie, w których badamy wzajemne położenie obiektów geometrycznych, oraz zadania na odległość, w których obliczamy konkretną wartość liczbową wyniku, taką jak na przykład odległość między dwoma punktami lub kąt zawarty między dwiema przecinającymi się prostymi.

Rozważając punkty na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w których wprowadzono kartezjański układ współrzędnych (na płaszczyźnie z dwiema osiami x,y, a w przestrzeni z trzema osiami x,y,z), możemy opisać punkty za pomocą ich współrzędnych na płaszczyźnie, lub współrzędnych w przestrzeni.

Na tej podstawie możemy obliczać odległość między dwoma punktami „w linii prostej“ – czyli długość odcinka łączącego te punkty na płaszczyźnie lub w przestrzeni.

Układ współrzędnych prostokątnych (układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie) tworzą dwie osie liczbowe x,y, które są do siebie prostopadłe i przecinają się w punkcie [0;0].

Proste x i y to osie współrzędnych, punkt [0;0] to początek układu współrzędnych.

Przykład: Współrzędne punktu A

Punkt A przedstawiony na rysunku w danym układzie współrzędnych określamy za pomocą współrzędnej x=1 i współrzędnej y=2. Położenie punktu A możemy zapisać jako A[1;2].

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni jest określony przez trzy wzajemnie prostopadłe osie liczbowe x,y,z, które przecinają się w punkcie [0;0;0].

Osie x,y,z nazywamy osiami układu współrzędnych, a punkt [0;0;0] jest początkiem układu współrzędnych.

Przykład: Współrzędne punktu A

Punkt A przedstawiony na rysunku ma w danym układzie współrzędnych współrzędne x=4, y=2, z=3, co możemy zapisać jako A[4;2;3].

Aby obliczyć odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych, musimy znać ich współrzędne.

Jeżeli dane są współrzędne A=[a_x,a_y], B=[b_x,b_y], odległość punktu A od punktu B wynosi:

|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2}

Wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa. Zauważ, że mamy tu trójkąt prostokątny o długości przyprostokątnych (b_x-a_x) i (b_y-a_y), którego przeciwprostokątna ma długość |AB|.

Odległość między dwoma punktami w przestrzeni obliczamy podobnie jak odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie, czyli za pomocą współrzędnych. Jeżeli dane są współrzędne punktów A=[a_x,a_y,a_z], B=[b_x,b_y,b_z], odległość między tymi punktami możemy obliczyć w następujący sposób:

|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2 + (b_z-a_z)^2}

W podobny sposób (stosując dwa razy z rzędu twierdzenie Pitagorasa) możemy obliczyć długość przekątnej prostopadłościanu.

Odcinek to część prostej ograniczona dwoma punktami (z tymi puntami włącznie).

Długość odcinka w układzie współrzędnych obliczamy w taki sam sposób jak odległość między punktami w układzie współrzędnych.

Długość odcinka AB, gdzie A[x_A; y_A], B[x_B; y_B], wynosi:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Powyższy wzór wywodzi się z twierdzenia Pitagorasa.

Środek odcinka dzieli odcinek na dwie równe części. Jeżeli końce odcinka AB leżą na osi liczbowej, a ich położeniu odpowiadają wartości a i b, to środku odcinka S odpowiada liczba s=\frac{a+b}{2}. Środek odcinka jest więc „średnią arytmetyczną“ jego końców.

Dla odcinka w układzie współrzędnych sytuacja wygląda następująco: Mamy tu dwie osie. I znów, aby wyznaczyć współrzędne środka odcinka, musimy obliczyć średnie arytmetyczne poszczególnych współrzędnych końców odcinka.

Zatem środek S[s_1;s_2] odcinka AB, gdzie A[x_A; y_A], B[x_B; y_B] ma współrzędne:

s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}

Długość odcinka w przestrzeni obliczamy tak samo jak odległość między punktami w przestrzeni.

Jeżeli dane są współrzędne A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B], długość odcinka AB wynosi:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Wektor to uporządkowana para punktów.

Wektor jest wyznaczony przez punkt początkowy i końcowy. Graficznie przedstawiamy go jako odcinek ze strzałką z grotem na końcu wektora, a zapisujemy jako \vec{u}=\overrightarrow{AB}

Na rysunku punkt A jest początkiem wektora \vec{u}, a punkt B końcem wektora \vec{u}.

Wektory przeciwne to wektory, które mają taką samą długość i kierunek, ale przeciwny zwrot:

Wektory współliniowe to wektory, które możemy umieścić na jednej prostej. Nie muszą mieć takiej samej długości, mogą mieć taki sam lub przeciwny zwrot:

Wektory prostopadłe to wektory, które tworzą kąt prosty:

Współrzędne wektora to rzuty prostokątne wektora na osie współrzędnych, czyli wektor \vec{u}=\overrightarrow{AB} ma współrzędne: \vec{u}=(u_1;u_2)=(b_1-a_1;b_2-a_2)

Długość wektora \vec {u}=\overrightarrow{AB} to długość odcinka AB, oznaczamy ją jako \left| \vec{u} \right| i obliczamy w następujący sposób: \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}

Wektor jednostkowy ma długość 1.

Wektor zerowy ma długość równą zero, czyli jego punkt początkowy i końcowy pokrywają się.

Wiemy już, że wektor to uporządkowana para punktów. Jeżeli dane są współrzędne punktów A=[a_1;a_2] i B=[b_1;b_2], to współrzędne wektora \overrightarrow{AB} określa wzór \overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1;b_2-a_2).

Współrzędne wektora \overrightarrow{AB} otrzymujemy poprzez odjęcie współrzędnych punktu A od współrzędnych punktu B.

Długość wektora \overrightarrow{AB} to długość odcinka AB. Wektor, którego długość wynosi 1, nazywamy wektorem jednostkowym:

Wektor, którego długość wynosi zero (czyli taki, którego koniec i początek pokrywają się), nazywamy wektorem zerowym:

Długość wektora \vec{u}=(u_1;u_2) obliczamy za pomocą twierdzenia Pitagorasa \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}

W powyższym trójkącie zaznaczonym na szaro długość wektora to długość przeciwprostokątnej. Przyprostokątne mają długość u_1 i u_2.

Iloczyn skalarny wektorów \vec{u} i \vec{v} zapisujemy jako \vec{u}\cdot \vec{v}. Dla wektorów \vec{u}, \vec{v} o długościach \left| \vec{u} \right| i \left| \vec{v} \right|, które tworzą kąt \alpha, iloczyn skalarny jest zdefiniowany następująco:

\vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha

Własności iloczynu skalarnego

• Wynikiem iloczynu skalarnego dwóch wektorów jest liczba (inaczej skalar).
• Iloczyn skalarny wektora zerowego i innego dowolnego wektora jest zawsze równy 0.
• Iloczyn skalarny wektorów, które są do siebie prostopadłe, również jest równy zeru.

Obliczanie za pomocą współrzędnych

Jeżeli mamy współrzędne wektorów \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), to wartość ich iloczynu skalarnego jest równa:

u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2

Wyznaczanie kąta między dwoma wektorami

Korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny, możemy wyznaczyć kąt między wektorami: \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}

Prosta jest zazwyczaj wyznaczona przez punkt i wektor lub przez dwa punkty.

Na przykład prosta p przedstawiona na rysunku wyznaczona jest:

• przez punkt A=[1;2] leżący na niej oraz przez wektor \vec{u}=(1;-2)
• lub przez dwa punkty [1;2] i [2;0] leżące na niej

Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie ma postać: ax+by+c=0, gdzie a i b to współrzędne wektora normalnego, a c to liczba rzeczywista. Wektor normalny \vec{n}=(a;b) jest prostopadły do danej prostej, a więc również prostopadły do jej wektora kierunkowego.

Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego punkt M z punktem leżącym na prostej p. Jak widać powyżej, najkrótszy odcinek zawsze leży na prostej prostopadłej poprowadzonej z punktu M do prostej p. Oznacza to, że odległość punktu od prostej możemy wyznaczyć w następujący sposób:

1. rysujemy prostą k, która przechodzi przez punkt M i jest prostopadła do prostej p
2. wyznaczamy punkt przecięcia P prostej k z prostą p
3. odległość punktu M od prostej p jest równa długości odcinka PM

Wzór na odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym

Odległość punktu M=[m_1;m_2] od prostej p danej równaniem ogólnym ax+by+c=0 wyraża się wzorem: d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Odległość dwóch prostych równoległych

Jeśli potrafimy obliczyć odległość punktu od prostej, łatwo łatwo wyznaczyć odległość dwóch prostych równoległych.

Wystarczy zauważyć, że wszystkie punkty leżące na jednej z tych prostych mają taką samą odległość od drugiej prostej. Dlatego odległość dwóch prostych równoległych jest równa odległości dowolnego punktu jednej prostej od drugiej prostej.

Krzywe stożkowe, jak sugeruje ich nazwa, są związane ze stożkiem. Wszystkie powstają jako przekroje powierzchni stożkowej obrotowej płaszczyzną.

• Okrąg powstaje jako przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi powierzchni stożkowej.
• Jeśli trochę nachylimy płaszczyznę przekroju, powstanie elipsa.

• Jeśli nachylimy płaszczyznę przekroju tak bardzo, że będzie równoległa do jednej z tworzących powierzchni stożkowej, powstanie parabola.
• Przy dalszym nachylaniu płaszczyzna przekroju przetnie już obie części powierzchni stożkowej i powstanie hiperbola.

Na krzywe stożkowe możemy również patrzeć jako na zbiory punktów o określonej własności. W geometrii analitycznej często zapisujemy te zbiory za pomocą równań.