Podzielność

Liczby parzyste to takie liczby całkowite, które są podzielne przez dwa bez reszty. Liczby parzyste kończą się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8. Liczbami parzystymi są na przykład 138, 12, 0, 9356, -34, 6.

Liczby nieparzyste to takie liczby całkowite, których nie można podzielić przez dwa bez reszty (resztą z dzielenia jest jeden). Liczby nieparzyste kończą się cyfrą 1, 3, 5, 7 lub 9. Liczbami nieparzystymi są na przykład 15, 891, -7, 1, 95.

Liczba a jest podzielna przez liczbę b, jeżeli dzieląc liczbę a przez liczbę b otrzymamy wynik całkowity, innymi słowy reszta z dzielenia liczby a przez liczbę b wynosi 0. Na przykład:

• Liczba 15 jest podzielna przez 5, ponieważ 15 = 3\cdot 5.
• Liczba 25 nie jest podzielna przez 4, ponieważ 25 = 6\cdot 4 + 1 (reszta jeden).

Znając tzw. cechy podzielności, możemy stwierdzić, czy liczba jest podzielna przez dany dzielnik, bez konieczności wykonywania działania.

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która jest podzielna wyłącznie przez jeden oraz przez samą siebie.

Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która nie jest liczbą pierwszą, tzn. ma więcej dzielników niż tylko jeden i ona sama.

Zgodnie z powyższą definicją liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą ani liczbą złożoną. Jest to powszechnie przyjęta konwencja matematyczna, dzięki której można bardziej elegancko formułować różne wyniki matematyczne. Ale istnieją też inne podejścia do jedynki jako liczby pierwszej (głównie historyczne).

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Liczby pierwsze mniejsze od 100 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Każdą liczbę można rozłożyć na czynniki pierwsze.

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb całkowitych to największa liczba, przez którą można podzielić te liczby bez reszty, np. NWD(18, 24) = 6, NWD(12, 21) = 3, NWD(24, 35) = 1.
Największy wspólny dzielnik możemy wyznaczyć również dla kilku liczb, np. NWD(30, 85, 90) = 5.
Największy wspólny dzielnik wykorzystujemy podczas skracania ułamków zwykłych.

• Jeżeli największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb jest 1, takie liczby nazywamy liczbami względnie pierwszymi. Do takich liczb zaliczamy np. 15 i 32.

W przypadku małych liczb najlepszym sposobem na znalezienie największego wspólnego dzielnika jest wypisanie wszystkich dzielników tych liczb.

Największy wspólny dzielnik możemy również znaleźć za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Obydwie liczby zapisujemy w postaci iloczynu liczb pierwszych. NWD to iloczyn wszystkich czynników powtarzających się w obu rozkładach.

NWD można obliczać również za pomocą innych metod, do najbardziej znanych należą algorytmy Euklidesa.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb całkowitych to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością jednej i drugiej liczby. Na przykład: NWW(12, 15) = 60, NWW(6, 8) = 24, NSN(3, 15) = 15. Największą wspólną wielokrotność możemy wyznaczyć również dla kilku liczb. Na przykład NSN(2, 3, 4) = 12. Z wyznaczaniem najmniejszej wspólnej wielokrotności mamy do czynienia np. podczas sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika w dodawaniu ułamków zwykłych.

W przypadku małych liczb najlepszym sposobem na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności jest wypisanie kilku pierwszych wielokrotności obu liczb.

W przypadku większych liczb największą wspólną wielokrotność możemy wyznaczyć za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze. NWW jest równa iloczynowi wszystkich liczb pierwszych, które występują przynajmniej w jednym rozkładzie (w największej potędze).

Najmniejszą wspólną wielokrotność można również wyznaczyć za pomocą największego wspólnego dzielnika (NWD): \mathit{NWW}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{NSD}(a, b)}