Lista notatek
Wyrażenia algebraiczne i ich przekształcanie
Podtematy
Wyrażenia algebraiczne i ich przekształcanie
Wyrażenie algebraiczne składa się ze stałych („liczby“) i zmiennych („literki“) połączonych ze sobą za pomocą znaków działań (np. dodawania, mnożenia) oraz nawiasów. Zmienne zastępują liczby z określonego zbioru wartości. Za pomocą wyrażeń algebraicznych możemy wykonywać różne operacje matematyczne.
Przykład:
- Pan Rolniak ma na podwórku p prosiaków i k kur.
- Wyrażenie 4\cdot p + 2 \cdot k wyraża łączną liczbę nóg, które mają zwierzęta na podwórku.
- W tym wyrażeniu liczby 4 i 2 to stałe, a litery p i k to zmienne, które należą do zbioru liczb naturalnych.
- Wyrażenie możemy zapisać w postaci 2(2p+k), zachowując wartość wyrażenia dla wszystkich wartości zmiennych.
Podstawianie do wyrażeń
Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy podstawić liczby w miejsce zmiennych. Częstym powodem błędnych obliczeń jest niezwrócenie uwagi na minusy (dlatego przed przystąpieniem do podstawiania do wyrażeń warto powtórzyć sobie działania na liczbach ujemnych).
Przykłady
| Wyrażenie | Wartość zmiennych | Podstawianie |
|---|---|---|
| 14-3n | n=2 | 14-3\cdot 2 = 8 |
| 3x-y | x=2, y=4 | 3\cdot2 - 4 = 2 |
| 2a+3b | a=5, b=-1 | 2\cdot 5 + 3\cdot(-1) = 7 |
| 1-x-2y | x=-5, y=7 | 1-(-5)-2\cdot 7 = 1+5-14=-8 |
Upraszczanie wyrażeń z jedną niewiadomą
Wykonujemy takie uproszczenia wyrażeń, które zachowują wartość wyrażenia dla wszystkich możliwych podstawień w miejsce zmiennej. Przykłady uproszczeń:
| Opis | Wyrażenie | Uproszczone wyrażenie |
|---|---|---|
| Dodawanie wyrazów podobnych | 3x+4+6x | =9x+4 |
| Mnożenie nawiasu | 3(x+2) | =3x+6 |
| Odejmowanie nawiasu | 1-(x-2) | =1-x+2 =3-x |
| Wyciąganie czynnika przed nawias | x^2+2x+3 | =x\cdot x +2x+3=x(x+2)+3 |
| Potęgowanie | (x+1)^2 | =(x+1)(x+1)=x^2+2x+1 |
Przy odejmowaniu nawiasów pamiętaj o ważnej zasadzie „minus i minus daje plus".
Do góryUpraszczanie wyrażeń z wieloma niewiadomymi
Wykonujemy takie uproszczenia wyrażeń, które zachowują wartość wyrażenia dla wszystkich możliwych podstawień w miejsce zmiennych. Przykłady uproszczeń:
| Opis | Wyrażenie | Uproszczone wyrażenie |
|---|---|---|
| Dodawanie wyrazów podobnych | 3x+2y+4x | =7x+2y |
| Mnożenie nawiasu | x(y-2) | =xy-2x |
| Wyciąganie czynnika przed nawias | 4x-x^2y+3 | =x(4-xy)+3 |
| Potęgowanie | (a+b)^2 | =(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2 |
| Mnożenie nawiasu przez nawias | (a+b)(a-b) | =(a+b)(a-b)=a^2+ab-ab-b^2 = a^2-b^2 |
Upraszczanie wyrażeń z ułamkami zwykłymi
Wyrażenia z ułamkami upraszczamy w taki sam sposób jak wyrażenia z jedną niewiadomą, z tą różnicą, że musimy dodatkowo wykonać działania charakterystyczne dla ułamków, np. skracanie ułamków, dodawanie i odejmowanie ułamków, mnożenie i dzielenie ułamków. Np.:
| Opis | Wyrażenie | Uproszczone wyrażenie |
|---|---|---|
| Skrócenie ułamka | \frac{3x+6}{15} | =\frac{x+2}{5} |
| Dodawanie ułamków | \frac{x}{2}+\frac{x}{3} | =\frac{3x}{6}+\frac{2x}{6} = \frac{5x}{6} |
| Mnożenie ułamków | \frac{x+1}{2} \cdot \frac{1}{3} | =\frac{x+1}{6} |
Wyrażenia wymierne
Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Zazwyczaj zapisujemy je w postaci ułamka zwykłego, np. \frac{x+2}{x^2-1}.
Dla każdego wyrażenia wymiernego musimy wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego, czyli zbiór liczb, dla którego wyrażenie ma sens liczbowy, czyli jest różne od zera. A wszystko dlatego, że nie można dzielić przez zero.
Przekształcanie wyrażeń wymiernych oraz działania na nich wykonujemy podobnie jak w przypadku zwykłych ułamków, pamiętając, że liczniki i mianowniki wyrażeń wymiernych są wielomianami.
