Działania na ułamkach zwykłych

Podstawowe działania na ułamkach zwykłych to:

Skracanie ułamków

• Aby skrócić ułamek, musimy podzielić licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik.
• Ułamek \frac{9}{12} możemy skrócić na \frac{3}{4}, ponieważ licznik i mianownik mają wspólny dzielnik 3.

Dodawanie i odejmowanie ułamków

• Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki, musimy najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika.
• \frac{1}{4} + \frac{1}{6} sprowadzamy do wspólnego mianownika 12 i otrzymujemy \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}.

Mnożenie i dzielenie ułamków

• Aby pomnożyć ułamki, musimy pomnożyć licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
• \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
• Aby wykonać dzielenie, musimy odwrócić drugi ułamek i pomnożyć go tak jak wyżej.
• \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{9}

Ułamki a procenty

• Aby zamienić ułamek zwykły na procenty, musimy pomnożyć go przez 100.
• \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75 \%

Ułamki zwykłe a dziesiętne

• Aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, musimy podzielić licznik przez mianownik. W odwrotną stronę, czyli aby zamienić ułamek dziesiętny na zwykły, musimy pomnożyć go przez potęgę liczby dziesięć.
• \frac{2}{5} = 2 : 5 = 0{,}4
• 0{,}25 = 0{,}25 \cdot\frac{100}{100} = \frac{25}{100}, po skróceniu \frac{1}{4}

Tę samą wartość możemy zapisać za pomocą różnych ułamków, np. \frac23 = \frac46 = \frac{10}{15} = \frac{200}{300}. Jednak tylko jedno z przedstawień oznaczamy jako najprostsza postać. Ułamek jest w najprostszej postaci, jeżeli liczb w liczniku i mianowniku nie można skrócić (tzn. nie ma już żadnej liczby całkowitej, przez którą można podzielić i licznik, i mianownik, ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1). W powyższym przykładzie w najprostszej postaci jest ułamek \frac23.

Skracanie ułamków polega na wydzieleniu licznika i mianownika przez tą samą liczbę różną od zera. Skracanie ułamków nie powoduje zmiany ich wartości. Jeżeli chcemy doprowadzić ułamek do najprostszej postaci, skracamy licznik i mianownik za pomocą największego wspólnego dzielnika.

Na początek przypomnijmy sobie, co jest licznikiem („to na górze“), a co mianownikiem („to na dole“). W ułamku \frac{3}{7} 3 to licznik, a 7 mianownik.

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Jeżeli ułamki, które chcemy dodać do siebie, mają taki sam mianownik, sprawa jest prosta – wystarczy dodać liczniki. Mianownik pozostawiamy bez zmian, czyli \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Jeżeli ułamki, które chcemy dodać do siebie, mają różne mianowniki, musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Aby rozszerzyć ułamki do wspólnego mianownika, należy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników. Następnie możemy dodać ułamki w sposób opisany powyżej.

Przekształcanie i odejmowanie

Otrzymany ułamek najczęściej należy jeszcze doprowadzić do najprostszej postaci, czyli skrócić. Odejmowanie ułamków wykonujemy podobnie jak dodawanie.

Przykłady

Aby lepiej wyobrazić sobie, na czym polega mnożenie ułamków zwykłych, weźmy tabliczkę czekolady. Jeżeli mnożymy \frac45\cdot \frac23, to jest to tak, jakbyśmy wzięli cztery kolumny z pięciu i dwa rzędy ze trzech. Ile kawałków czekolady łącznie wzięliśmy? Osiem z piętnastu, czyli \frac{8}{15}.

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, musimy po prostu pomnożyć przez siebie liczniki pierwszego i drugiego ułamka oraz pomnożyć przez siebie mianowniki pierwszego i drugiego ułamka: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Jeżeli chcemy oszczędzić sobie mnożenia wielkich liczb, możemy ułamki skrócić – również „na krzyż“.

Dzielenie ułamków zwykłych to to samo, co mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.