Ułamki zwykłe: podstawy

Ułamki zwykłe zapisujemy w postaci \frac{a}{b}, gdzie a to licznik, a b to mianownik. Kreska pomiędzy nimi to tzw. kreska ułamkowa. Symbolizuje ona znak dzielenia. A ponieważ nie można dzielić przez zero, mianownik musi być różny od zera.
Na przykład: w ułamku \frac32 licznikiem jest liczba 3, a mianownikiem liczba 2, wartość ułamka \frac32 jest równa ilorazowi 3:2 = 1{,}5 („jeden i pół“).

Ułamek \frac{a}{b} jest w najprostszej postaci, jeżeli liczby a, b są liczbami względnie pierwszymi (czyli ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1). Ułamki doprowadzamy do najprostszej postaci za pomocą skracania.
Na przykład:

• Ułamek \frac64 nie jest w najprostszej postaci, ponieważ liczby 6 i 4 można skrócić – mają wspólny dzielnik 2, przez który możemy podzielić licznik i mianownik. W ten sposób otrzymamy najprostszą postać \frac32.
• Ułamek \frac34 jest w najprostszej postaci, ponieważ liczby 3 i 4 są względnie pierwsze, czyli ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1.

Podstawowe umiejętności dotyczące ułamków możesz przećwiczyć na następujących tematach:

• Rozpoznawanie ułamków
• Ułamki na osi liczbowej
• Porównywanie ułamków
• Liczby mieszane

Ułamki wyrażają jakąś „część całości“. Możemy przedstawić je graficznie na wiele sposobów:

Ułamek zwykły możemy zaznaczyć na osi liczbowej, zamieniając go najpierw na ułamek dziesiętny (w tym celu dzielimy licznik przez mianownik), a następnie postępując tak samo jak w przypadku ułamków dziesiętnych. Na przykład \frac{6}{5} = 1{,}2, czyli ułamek \frac{6}{5} znajduje się o dwie dziesiąte za jedynką. Inne przykłady:

Ułamki mniejsze od 1 możemy zaznaczać na osi liczbowej bez zamiany na liczbę dziesiętną, korzystając z wyobrażenia „części całości“. Jeśli chcemy zaznaczyć ułamek \frac{3}{7}, wyobrażamy sobie, że dzielimy odcinek od 0 po 1 na siedem równych części. Następnie zaznaczamy trzecią z tych części – to właśnie ułamek \frac{3}{7}.

Warto wyrobić sobie dobrą intuicję szczególnie dla ułamków o małym mianowniku:

Zanim przystąpimy do porównywania ułamków zwykłych, przypomnijmy sobie, gdzie jest licznik („na górze“), a gdzie mianownik („na dole“). Czyli w ułamku \frac{3}{7} licznikiem będzie liczba 3, a mianownikiem liczba 7.

Porównywanie ułamków o tym samym mianowniku

Porównywanie ułamków o jednakowych mianownikach jest proste — wystarczy porównać liczniki. Weźmy na przykład ułamki \frac{3}{7} i \frac{5}{7}. Liczba 5 jest większa od liczby 3, zatem drugi ułamek będzie większy. Innymi słowy, jeśli podzielimy pizzę na siedem kawałków, to osoba, która zje pięć kawałków, zje więcej od osoby, która zje trzy kawałki.

Porównywanie ułamków o tym samym liczniku

Jeśli ułamki mają ten sam licznik, wystarczy porównać mianowniki. Obowiązuje zasada, że im mniejszy mianownik, tym większy ułamek. Weźmy na przykład ułamki \frac{1}{4} i \frac{1}{5}. Jedna czwarta jest większa od jednej piątej. Innymi słowy, jeśli mam dostać tylko jeden kawałek pizzy, to będzie on większy, jeżeli podzielimy pizzę na 4 kawałki, niż gdybyśmy podzielili ją na pięć kawałków.

Różne mianowniki i liczniki

W takiej sytuacji najpierw musimy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem porównać liczniki. Na przykład: porównujemy ułamki \frac{2}{3} i \frac{4}{7}. Najmniejszy wspólny mianownik to 21, po rozszerzeniu otrzymujemy ułamki \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} i \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Ponieważ 14 \gt 12, większy jest pierwszy ułamek, czyli \frac{2}{3}.

Porównywanie bez obliczeń

Nierzadko możemy porównać ułamki bez wykonywania dokładnych obliczeń, musimy tylko dobrze je sobie wyobrazić lub porównać z odpowiednią wartością „pomiędzy”.

• Ułamki \frac{2}{3} i \frac{7}{6}. Pierwszy ułamek jest mniejszy niż 1, drugi ułamek jest większy niż 1. Zatem \frac{2}{3} \lt \frac{7}{6}.

• Ułamki \frac{1}{3} i \frac{4}{5}. Pierwszy ułamek na pewno jest mniejszy niż jedna druga, drugi jest dużo większy niż jedna druga. Zatem \frac{1}{3} \lt \frac{4}{5}.

Ułamki, w których licznik jest mniejszy niż mianownik (czyli ułamek jest mniejszy od jeden), nazywamy ułamkami właściwymi. Ułamki niewłaściwe (czyli większe od jeden) możemy zapisać za pomocą liczb mieszanych. Liczba mieszana a\frac{b}{c} to zapis sumy a + \frac{b}{c}, gdzie \frac{b}{c} to ułamek dodatni mniejszy od jeden.

Zamianę liczby mieszanej na ułamek możemy przeprowadzić, wiedząc, że jedność możemy zapisać jako \frac{c}{c}.

Zamianę ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną wykonujemy za pomocą dzielenia z resztą. Liczba całkowita oznacza iloraz, zaś licznik ułamka resztę.