Potęgi i pierwiastki

Potęgowanie jest wielokrotnym mnożeniem. Na przykład 3^5 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 243. Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 36 wynosi 6 (\sqrt{36}=6), ponieważ 6^2 = 6\cdot 6 = 36.

W pierwszej kolejności warto dokładnie przećwiczyć podstawowe potęgi i pierwiastki, a nawet nauczyć się ich na pamięć, ponieważ będą pojawiać się na lekcjach matematyki przy okazji omawiania wielu innych zagadnień, na przykład przy wykonywaniu działań na wielomianach, rozwiązywaniu równań kwadratowych, obliczaniu pola powierzchni i objętości lub wyznaczaniu długości boków w trójkącie.

Kolejnym krokiem będą wyrażenia z potęgami i pierwiastkami.

Potęgowanie możemy również zdefiniować dla wykładnika ujemnego. Taką metodę potęgowania stosuje się w notacji naukowej, która pozwala na pracę zarówno z bardzo dużymi, jak i bardzo małymi liczbami. Dlatego jest ona chętnie stosowana w fizyce.

Potęgowanie i pierwiastkowanie możemy również stosować w odniesieniu do ułamków zwykłych i dziesiętnych.

Potęgi są skróconym zapisem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Przykłady:

• 3^2 = 3\cdot 3 = 9
• 2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2= 8
• 5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625

Potęgując liczby ujemne, kierujemy się zasadą, że potęga parzysta daje wynik dodatni, a potęga nieparzysta wynik ujemny.

• (-3)^2 = (-3)\cdot (-3) = 9
• (-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = -27
• (-3)^4 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 81

Każda liczba rzeczywista różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje liczbę jeden (np. 5^0=1, 564^0=1). Zero podniesione do każdej potęgi równa się zero. (np. 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). I tu powstaje interesujące pytanie: Ile się równa 0^0?

Najważniejsze wzory działań na potęgach:

• x^0 = 1
• x^a \cdot x^b = x^{a+b}
• x^a : x^b = x^{a-b}
• (x^a)^b = x^{a\cdot b}
• (x\cdot y)^a = x^a\cdot y^a

Konkretne przykłady zastosowania:

• 7^3\cdot 7^2 = (7\cdot 7\cdot7) \cdot (7\cdot 7) = 7^{3+2} = 7^5
• 6^4: 6^2 = (6\cdot 6\cdot 6\cdot 6) : (6\cdot 6) = 6^{4-2} = 6^2
• (5^3)^2 = (5\cdot 5\cdot 5)^2 = (5\cdot 5\cdot 5) \cdot (5\cdot 5\cdot 5) = 5^{3\cdot 2} = 5^6
• (7\cdot 8)^3 = (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) = (7\cdot 7\cdot 7) \cdot (8\cdot 8\cdot 8) = 7^3 \cdot 8^3

Najważniejsze wzory do działań na pierwiastkach (zakładamy, że x, y > 0):

• \sqrt{0} = 0
• \sqrt{1} = 1
• \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x
• \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}
• \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
• \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}
• \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n\cdot m]{x}

Przykłady:

• \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}
• \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3
• \sqrt[3]{5^6} = 5^\frac63 = 5^2 = 25