Potęgi i pierwiastki

Potęgowanie jest wielokrotnym mnożeniem. Na przykład 3^5 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 243. Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 36 wynosi 6 (\sqrt{36}=6), ponieważ 6^2 = 6\cdot 6 = 36.

W pierwszej kolejności warto dokładnie przećwiczyć podstawowe potęgi i pierwiastki, a nawet nauczyć się ich na pamięć, ponieważ będą pojawiać się na lekcjach matematyki przy okazji omawiania wielu innych zagadnień, na przykład przy wykonywaniu działań na wielomianach, rozwiązywaniu równań kwadratowych, obliczaniu pola powierzchni i objętości lub wyznaczaniu długości boków w trójkącie.

Kolejnym krokiem będą wyrażenia z potęgami i pierwiastkami.

Potęgowanie możemy również zdefiniować dla wykładnika ujemnego. Taką metodę potęgowania stosuje się w notacji naukowej, która pozwala na pracę zarówno z bardzo dużymi, jak i bardzo małymi liczbami. Dlatego jest ona chętnie stosowana w fizyce.

Potęgowanie i pierwiastkowanie możemy również stosować w odniesieniu do ułamków zwykłych i dziesiętnych.

Potęgi są skróconym zapisem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Przykłady:

• 3^2 = 3\cdot 3 = 9
• 2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2= 8
• 5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625

Potęgując liczby ujemne, kierujemy się zasadą, że potęga parzysta daje wynik dodatni, a potęga nieparzysta wynik ujemny.

• (-3)^2 = (-3)\cdot (-3) = 9
• (-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = -27
• (-3)^4 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 81

Każda liczba rzeczywista różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje liczbę jeden (np. 5^0=1, 564^0=1). Zero podniesione do każdej potęgi równa się zero. (np. 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). I tu powstaje interesujące pytanie: Ile się równa 0^0?

Pierwiastkowanie w matematyce jest częściowo działaniem odwrotnym do potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z liczby x to taka nieujemna liczba a, dla której a^2 = x. Pierwiastek kwadratowy oznaczamy symbolem \sqrt{x}.

Ogólnie pierwiastek n-tego stopnia z liczby x to taka liczba a, dla której zachodzi a^n = x. Pierwiastek n-tego stopnia oznaczamy symbolem \sqrt[n]{x}.

Pierwiastkowanie ma również znaczenie geometryczne. Jeśli mamy kwadrat o polu P, to długość jego boku jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z \sqrt{P}. Jeśli mamy sześcian o objętości V, to długość jego krawędzi jest równa pierwiastkowi sześciennemu z \sqrt[3]{V}. Pierwiastki często wykorzystujemy na przykład podczas stosowania twierdzenia Pitagorasa.

Wykres funkcji pierwiastkowej

Pierwiastki a liczby ujemne

Kiedy szukamy pierwiastka z 25, szukamy liczby, która podniesiona do kwadratu daje 25. Warunek ten spełnia zarówno 5\cdot 5, jak i (-5)\cdot (-5). Pierwiastek jest jednak z definicji liczbą nieujemną, dlatego \sqrt{25}=5.

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać tylko z liczb nieujemnych, ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest zdefiniowany w zbiorze liczb rzeczywistych. Można jednak zdefiniować takie pierwiastki, wprowadzając liczby zespolone. Jest to bardzo ciekawe i przydatne zagadnienie, ale nie będziemy go tutaj omawiać.

W przypadku liczb rzeczywistych możemy obliczać pierwiastki z liczb ujemnych, jeśli stopień pierwiastka (n) jest nieparzysty.

Najważniejsze wzory działań na potęgach:

• x^0 = 1
• x^a \cdot x^b = x^{a+b}
• x^a : x^b = x^{a-b}
• (x^a)^b = x^{a\cdot b}
• (x\cdot y)^a = x^a\cdot y^a

Konkretne przykłady zastosowania:

• 7^3\cdot 7^2 = (7\cdot 7\cdot7) \cdot (7\cdot 7) = 7^{3+2} = 7^5
• 6^4: 6^2 = (6\cdot 6\cdot 6\cdot 6) : (6\cdot 6) = 6^{4-2} = 6^2
• (5^3)^2 = (5\cdot 5\cdot 5)^2 = (5\cdot 5\cdot 5) \cdot (5\cdot 5\cdot 5) = 5^{3\cdot 2} = 5^6
• (7\cdot 8)^3 = (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) = (7\cdot 7\cdot 7) \cdot (8\cdot 8\cdot 8) = 7^3 \cdot 8^3

Najważniejsze wzory do działań na pierwiastkach (zakładamy, że x, y > 0):

• \sqrt{0} = 0
• \sqrt{1} = 1
• \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x
• \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}
• \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
• \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}
• \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n\cdot m]{x}

Przykłady:

• \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}
• \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3
• \sqrt[3]{5^6} = 5^\frac63 = 5^2 = 25

Potęga o wykładniku ujemnym jest równa odwrotności odpowiedniej potęgi o wykładniku dodatnim. Oznacza to, że: x^{-n} = \frac{1}{x^n}. Reguła ta wynika z własności mnożenia potęg: x^n\cdot x^m = x^{n+m}. Musi więc zachodzić: x^{-n} \cdot x^n = x^{-n+n} = x^0 = 1.

Przykłady:

• 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5
• 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25
• 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = 0,01
• 0,5^{-1} = 2^1 = 2

Notacja naukowa liczb to sposób zapisywania liczb w postaci iloczynu m\cdot 10^n, gdzie m jest liczbą rzeczywistą (mantysą), a 10^n jest potęgą liczby 10. Taki sposób zapisywania jest szczególnie przydatny podczas pracy z bardzo dużymi lub bardzo małymi liczbami. Na przykład masa Ziemi wynosi około 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg, co znacznie przejrzyściej można zapisać w postaci 5{,}97\cdot 10^{24} kg. Przykłady:

Potęgowanie i pierwiastkowanie ułamków zwykłych

Aby podnieść ułamek zwykły do potęgi, musimy podnieść do zadanej potęgi licznik i mianownik. I odwrotnie, aby wyciągnąć pierwiastek z ułamka zwykłego, musimy wyciągnąć zadany pierwiastek z licznika i mianownika:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (w przypadku, gdy podnosimy ułamek do potęgi -1, musimy go odwrócić)

Potęgi o wykładniku ułamkowym

W przypadku, gdy mamy potęgę o wykładniku ułamkowym, licznik ułamka zapiszemy w pierwiastku, a mianownik ułamka w potędze, czyli x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}. Na przykład:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27