Ułamki zwykłe

Ułamki zwykłe zapisujemy w postaci \frac{a}{b}, gdzie a to licznik, a b to mianownik. Kreska pomiędzy nimi to tzw. kreska ułamkowa. Symbolizuje ona znak dzielenia. A ponieważ nie można dzielić przez zero, to mianownik musi być różny od zera.
Na przykład: w przypadku ułamka \frac32 w liczniku mamy liczbę 3, a w mianowniku liczbę 2, czyli wartość ułamka \frac32 to 3:2 = 1{,}5 („jeden i pół“).

Rozszerzanie i skracanie

Wartość ułamka nie zmienia się podczas rozszerzania i skracania (za pomocą liczby c innej niż zero).

Na przykład:

• Rozszerzenie ułamka \frac64 za pomocą liczby 5: \frac64 = \frac{6\cdot 5}{4\cdot 5} = \frac{30}{20}.
• Skrócenie ułamka \frac64 za pomocą liczby 2: \frac64 = \frac{6:2}{4:2} = \frac{3}{2}.

Najprostsza postać

Dzięki rozszerzaniu i skracaniu możemy zapisać jedną wartość za pomocą nieskończenie wielu różnych ułamków. Ułamek \frac{a}{b} jest w najprostszej postaci, jeżeli liczb w liczniku i mianowniku nie można skrócić (tzn. nie ma już żadnej liczby całkowitej, przez którą można podzielić i licznik, i mianownik, ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1). Na przykład:

• Ułamek \frac64 nie jest w najprostszej postaci, ponieważ liczby 6 i 4 można skrócić (mają wspólny dzielnik 2).
• Ułamek \frac34 jest w najprostszej postaci, ponieważ liczb 3 i 4 nie można skrócić.

Ułamki zwykłe zapisujemy w postaci \frac{a}{b}, gdzie a to licznik, a b to mianownik. Kreska pomiędzy nimi to tzw. kreska ułamkowa. Symbolizuje ona znak dzielenia. A ponieważ nie można dzielić przez zero, mianownik musi być różny od zera.
Na przykład: w ułamku \frac32 licznikiem jest liczba 3, a mianownikiem liczba 2, wartość ułamka \frac32 jest równa ilorazowi 3:2 = 1{,}5 („jeden i pół“).

Ułamek \frac{a}{b} jest w najprostszej postaci, jeżeli liczby a, b są liczbami względnie pierwszymi (czyli ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1). Ułamki doprowadzamy do najprostszej postaci za pomocą skracania.
Na przykład:

• Ułamek \frac64 nie jest w najprostszej postaci, ponieważ liczby 6 i 4 można skrócić – mają wspólny dzielnik 2, przez który możemy podzielić licznik i mianownik. W ten sposób otrzymamy najprostszą postać \frac32.
• Ułamek \frac34 jest w najprostszej postaci, ponieważ liczby 3 i 4 są względnie pierwsze, czyli ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1.

Podstawowe umiejętności dotyczące ułamków możesz przećwiczyć na następujących tematach:

• Rozpoznawanie ułamków
• Ułamki na osi liczbowej
• Porównywanie ułamków
• Liczby mieszane

Ułamki wyrażają jakąś „część całości“. Możemy przedstawić je graficznie na wiele sposobów:

Ułamek zwykły możemy zaznaczyć na osi liczbowej, zamieniając go najpierw na ułamek dziesiętny (w tym celu dzielimy licznik przez mianownik), a następnie postępując tak samo jak w przypadku ułamków dziesiętnych. Na przykład \frac{6}{5} = 1{,}2, czyli ułamek \frac{6}{5} znajduje się o dwie dziesiąte za jedynką. Inne przykłady:

Ułamki mniejsze od 1 możemy zaznaczać na osi liczbowej bez zamiany na liczbę dziesiętną, korzystając z wyobrażenia „części całości“. Jeśli chcemy zaznaczyć ułamek \frac{3}{7}, wyobrażamy sobie, że dzielimy odcinek od 0 po 1 na siedem równych części. Następnie zaznaczamy trzecią z tych części – to właśnie ułamek \frac{3}{7}.

Warto wyrobić sobie dobrą intuicję szczególnie dla ułamków o małym mianowniku:

Zanim przystąpimy do porównywania ułamków zwykłych, przypomnijmy sobie, gdzie jest licznik („na górze“), a gdzie mianownik („na dole“). Czyli w ułamku \frac{3}{7} licznikiem będzie liczba 3, a mianownikiem liczba 7.

Porównywanie ułamków o tym samym mianowniku

Porównywanie ułamków o jednakowych mianownikach jest proste — wystarczy porównać liczniki. Weźmy na przykład ułamki \frac{3}{7} i \frac{5}{7}. Liczba 5 jest większa od liczby 3, zatem drugi ułamek będzie większy. Innymi słowy, jeśli podzielimy pizzę na siedem kawałków, to osoba, która zje pięć kawałków, zje więcej od osoby, która zje trzy kawałki.

Porównywanie ułamków o tym samym liczniku

Jeśli ułamki mają ten sam licznik, wystarczy porównać mianowniki. Obowiązuje zasada, że im mniejszy mianownik, tym większy ułamek. Weźmy na przykład ułamki \frac{1}{4} i \frac{1}{5}. Jedna czwarta jest większa od jednej piątej. Innymi słowy, jeśli mam dostać tylko jeden kawałek pizzy, to będzie on większy, jeżeli podzielimy pizzę na 4 kawałki, niż gdybyśmy podzielili ją na pięć kawałków.

Różne mianowniki i liczniki

W takiej sytuacji najpierw musimy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem porównać liczniki. Na przykład: porównujemy ułamki \frac{2}{3} i \frac{4}{7}. Najmniejszy wspólny mianownik to 21, po rozszerzeniu otrzymujemy ułamki \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} i \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Ponieważ 14 \gt 12, większy jest pierwszy ułamek, czyli \frac{2}{3}.

Porównywanie bez obliczeń

Nierzadko możemy porównać ułamki bez wykonywania dokładnych obliczeń, musimy tylko dobrze je sobie wyobrazić lub porównać z odpowiednią wartością „pomiędzy”.

• Ułamki \frac{2}{3} i \frac{7}{6}. Pierwszy ułamek jest mniejszy niż 1, drugi ułamek jest większy niż 1. Zatem \frac{2}{3} \lt \frac{7}{6}.

• Ułamki \frac{1}{3} i \frac{4}{5}. Pierwszy ułamek na pewno jest mniejszy niż jedna druga, drugi jest dużo większy niż jedna druga. Zatem \frac{1}{3} \lt \frac{4}{5}.

Ułamki, w których licznik jest mniejszy niż mianownik (czyli ułamek jest mniejszy od jeden), nazywamy ułamkami właściwymi. Ułamki niewłaściwe (czyli większe od jeden) możemy zapisać za pomocą liczb mieszanych. Liczba mieszana a\frac{b}{c} to zapis sumy a + \frac{b}{c}, gdzie \frac{b}{c} to ułamek dodatni mniejszy od jeden.

Zamianę liczby mieszanej na ułamek możemy przeprowadzić, wiedząc, że jedność możemy zapisać jako \frac{c}{c}.

Zamianę ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną wykonujemy za pomocą dzielenia z resztą. Liczba całkowita oznacza iloraz, zaś licznik ułamka resztę.

Podstawowe działania na ułamkach zwykłych to:

Skracanie ułamków

• Aby skrócić ułamek, musimy podzielić licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik.
• Ułamek \frac{9}{12} możemy skrócić na \frac{3}{4}, ponieważ licznik i mianownik mają wspólny dzielnik 3.

Dodawanie i odejmowanie ułamków

• Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki, musimy najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika.
• \frac{1}{4} + \frac{1}{6} sprowadzamy do wspólnego mianownika 12 i otrzymujemy \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}.

Mnożenie i dzielenie ułamków

• Aby pomnożyć ułamki, musimy pomnożyć licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
• \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
• Aby wykonać dzielenie, musimy odwrócić drugi ułamek i pomnożyć go tak jak wyżej.
• \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{9}

Ułamki a procenty

• Aby zamienić ułamek zwykły na procenty, musimy pomnożyć go przez 100.
• \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75 \%

Ułamki zwykłe a dziesiętne

• Aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, musimy podzielić licznik przez mianownik. W odwrotną stronę, czyli aby zamienić ułamek dziesiętny na zwykły, musimy pomnożyć go przez potęgę liczby dziesięć.
• \frac{2}{5} = 2 : 5 = 0{,}4
• 0{,}25 = 0{,}25 \cdot\frac{100}{100} = \frac{25}{100}, po skróceniu \frac{1}{4}

Tę samą wartość możemy zapisać za pomocą różnych ułamków, np. \frac23 = \frac46 = \frac{10}{15} = \frac{200}{300}. Jednak tylko jedno z przedstawień oznaczamy jako najprostsza postać. Ułamek jest w najprostszej postaci, jeżeli liczb w liczniku i mianowniku nie można skrócić (tzn. nie ma już żadnej liczby całkowitej, przez którą można podzielić i licznik, i mianownik, ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1). W powyższym przykładzie w najprostszej postaci jest ułamek \frac23.

Skracanie ułamków polega na wydzieleniu licznika i mianownika przez tą samą liczbę różną od zera. Skracanie ułamków nie powoduje zmiany ich wartości. Jeżeli chcemy doprowadzić ułamek do najprostszej postaci, skracamy licznik i mianownik za pomocą największego wspólnego dzielnika.

Na początek przypomnijmy sobie, co jest licznikiem („to na górze“), a co mianownikiem („to na dole“). W ułamku \frac{3}{7} 3 to licznik, a 7 mianownik.

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Jeżeli ułamki, które chcemy dodać do siebie, mają taki sam mianownik, sprawa jest prosta – wystarczy dodać liczniki. Mianownik pozostawiamy bez zmian, czyli \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Jeżeli ułamki, które chcemy dodać do siebie, mają różne mianowniki, musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Aby rozszerzyć ułamki do wspólnego mianownika, należy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników. Następnie możemy dodać ułamki w sposób opisany powyżej.

Przekształcanie i odejmowanie

Otrzymany ułamek najczęściej należy jeszcze doprowadzić do najprostszej postaci, czyli skrócić. Odejmowanie ułamków wykonujemy podobnie jak dodawanie.

Przykłady

Aby lepiej wyobrazić sobie, na czym polega mnożenie ułamków zwykłych, weźmy tabliczkę czekolady. Jeżeli mnożymy \frac45\cdot \frac23, to jest to tak, jakbyśmy wzięli cztery kolumny z pięciu i dwa rzędy ze trzech. Ile kawałków czekolady łącznie wzięliśmy? Osiem z piętnastu, czyli \frac{8}{15}.

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, musimy po prostu pomnożyć przez siebie liczniki pierwszego i drugiego ułamka oraz pomnożyć przez siebie mianowniki pierwszego i drugiego ułamka: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Jeżeli chcemy oszczędzić sobie mnożenia wielkich liczb, możemy ułamki skrócić – również „na krzyż“.

Dzielenie ułamków zwykłych to to samo, co mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.

Do bardziej zaawansowanych działań na ułamkach należy potęgowanie ułamków oraz użycie ich w wyrażeniach i równaniach algebraicznych.

Potęgowanie i pierwiastkowanie ułamków zwykłych

Aby podnieść ułamek zwykły do potęgi, musimy podnieść do zadanej potęgi licznik i mianownik. I odwrotnie, aby wyciągnąć pierwiastek z ułamka zwykłego, musimy wyciągnąć zadany pierwiastek z licznika i mianownika:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (w przypadku, gdy podnosimy ułamek do potęgi -1, musimy go odwrócić)

Potęgi o wykładniku ułamkowym

W przypadku, gdy mamy potęgę o wykładniku ułamkowym, licznik ułamka zapiszemy w pierwiastku, a mianownik ułamka w potędze, czyli x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}. Na przykład:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27