Geometria analityczna

Geometria analityczna łączy geometrię i algebrę. Pozwala nam przedstawić problemy geometryczne w postaci algebraicznej i rozwiązywać je za pomocą równań.

Najprostszymi obiektami, które można opisać analitycznie, są punkty, odcinki i wektory na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Gdy już potrafimy operować wektorami, możemy użyć ich na przykład do opisu prostej lub płaszczyzny.

W przypadku prostych i płaszczyzn nadal mamy do czynienia z obiektami, które można opisać za pomocą równań liniowych lub układów równań liniowych. Jeśli zajmiemy się również równaniami kwadratowymi, będziemy w stanie opisać krzywe stożkowe na płaszczyźnie, takie jak okrąg, elipsa, parabola czy hiperbola.

Dwa ważne typy problemów, które rozwiązujemy w ramach geometrii analitycznej, to zadania na położenie, w których badamy wzajemne położenie obiektów geometrycznych, oraz zadania na odległość, w których obliczamy konkretną wartość liczbową wyniku, taką jak na przykład odległość między dwoma punktami lub kąt zawarty między dwiema przecinającymi się prostymi.

Przesuwanie

Przesuwanie karteczek w odpowiednie miejsce. Proste sterowanie, atrakcyjne i oryginalne zadania.

Geometria analityczna

Punkty

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych: pierwsza ćwiartka

Współrzędne punktów w przestrzeni

Odległość między punktami w ukł. współrzędnych

Odległość między punktami w przestrzeni

Odcinki

Długość odcinka w ukł. współrzędnych

Długość odcinka w przestrzeni

Wektory

Współrzędne wektora

Długość wektora

Długość wektora w ukł. współrzędnych

Proste

Równanie parametryczne prostej w ukł. współrzędnych

Równanie ogólne prostej w ukł. współrzędnych

Krzywe stożkowe

Okrąg (krzywe stożkowe)

Okrąg: równanie kanoniczne

Elipsa

Elipsa: równanie kanoniczne

Parabola

Parabola: równania

Hiperbola

Hiperbola: równanie kanoniczne

Krzywe stożkowe: miks przykładów

Równania krzywych stożkowych

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Przesuwanie • średnie

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Decydowanie

Szybkie ćwiczenie polegające na wybraniu prawidłowej odpowiedzi spośród dwóch propozycji.

Geometria analityczna

Punkty

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Współrzędne punktów w przestrzeni

Odległość między punktami w ukł. współrzędnych

Odległość między punktami w przestrzeni

Punkty: różne

Odcinki

Długość odcinka w ukł. współrzędnych

Środek odcinka w ukł. współrzędnych

Wzajemne położenie odcinków w ukł. współrzędnych

Długość odcinka w przestrzeni

Środek odcinka w przestrzeni

Wzajemne położenie odcinków w przestrzeni

Odcinki: miks przykładów

Wektory

Wektory: pojęcia

Współrzędne wektora

Wektory: współrzędne w przestrzeni

Długość wektora

Wzajemne położenie wektorów

Wektory: różne

Działania na wektorach

Wektory: mnożenie przez stałą, suma, różnica

Wektory: iloczyn skalarny

Działania na wektorach: różne

Proste

Proste: pojęcia

Wyznaczanie prostej

Równanie ogólne prostej w ukł. współrzędnych

Wzajemne położenie prostej i punktu w ukł. współrzędnych

Proste: różne

Płaszczyzny

Wzajemne położenie punktu i płaszczyzny

Krzywe stożkowe

Okrąg (krzywe stożkowe)

Okrąg: równanie ogólne

Odległość między punktami w ukł. współrzędnych

Decydowanie • łatwe

Odległość między punktami w ukł. współrzędnych

Memory

Szukanie pasujących par.

Geometria analityczna

Punkty

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Odcinki

Długość odcinka w ukł. współrzędnych

Długość odcinka

Wzajemne położenie odcinków w ukł. współrzędnych

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Memory • łatwe

Krok po kroku

Uzupełnianie poszczególnych kroków dłuższego zadania.

Geometria analityczna

Odcinki

Środek odcinka w ukł. współrzędnych

Proste

Proste: różne

Zadania na położenie

Środek odcinka w ukł. współrzędnych

Krok po kroku • łatwe

Wpisywanie odpowiedzi

Ćwiczenie, w którym wpisujesz odpowiedź na klawiaturze.

Geometria analityczna

Punkty

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Współrzędne punktów w przestrzeni

Odległość między punktami w ukł. współrzędnych

Odległość między punktami w przestrzeni

Punkty: różne

Odcinki

Długość odcinka w ukł. współrzędnych

Środek odcinka w ukł. współrzędnych

Długość odcinka w przestrzeni

Środek odcinka w przestrzeni

Odcinki: miks przykładów

Wektory

Współrzędne wektora

Długość wektora

Wektory: różne

Proste

Wzajemne położenie prostej i punktu w ukł. współrzędnych

Krzywe stożkowe

Okrąg (krzywe stożkowe)

Okrąg: równanie kanoniczne

Odcinki: miks przykładów

Wpisywanie odpowiedzi • średnie

Wykresownik

Specjalistyczne ćwiczenie do pracy z wykresami i funkcjami.

Geometria analityczna

Punkty

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Wykresownik • łatwe

Roboty

Wyścigi z robotami. Proste sterowanie za pomocą wyboru poprawnej odpowiedzi.

Geometria analityczna

Punkty

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Start

Filtrowanie według klasy

Ćwiczenia

Geometria analityczna

Przesuwanie

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Decydowanie

Odległość między punktami w ukł. współrzędnych

Memory

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Krok po kroku

Środek odcinka w ukł. współrzędnych

Wpisywanie odpowiedzi

Odcinki: miks przykładów

Wykresownik

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Roboty

Twoja wiadomość została wysłana. Dziękujemy.

Napisz do nas

Jesteś w kropce?

Czego dotyczy wiadomość?

Filtrowanie według klasy

Ćwiczenia

Geometria analityczna

Przesuwanie

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych (średnie) • GJM

Zadania: 12

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych: pierwsza ćwiartka (łatwe) • G4W

Współrzędne punktów w przestrzeni (średnie) • GJ3

Zadania: 10

Odległość między punktami w ukł. współrzędnych (średnie) • GKP

Zadania: 12

Odległość między punktami w przestrzeni (średnie) • GLO

Zadania: 12

Długość odcinka w ukł. współrzędnych (średnie) • GMA

Zadania: 10

Długość odcinka w przestrzeni (średnie) • GMV

Zadania: 10

Współrzędne wektora (średnie) • GKV

Zadania: 12

Długość wektora w ukł. współrzędnych (średnie) • GKZ

Zadania: 12

Równanie parametryczne prostej w ukł. współrzędnych (średnie) • GLX

Zadania: 12

Równanie ogólne prostej w ukł. współrzędnych (średnie) • GMW

Zadania: 12

Okrąg: równanie kanoniczne (średnie) • GN1

Zadania: 12

Elipsa: równanie kanoniczne (średnie) • GOW

Zadania: 12

Parabola: równania (średnie) • GSM

Zadania: 12

Hiperbola: równanie kanoniczne (średnie) • GSA

Zadania: 12

Równania krzywych stożkowych (trudne) • FKM

Zadania: 7

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych

Decydowanie

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych (łatwe) • GMJ

Zadania: 76

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych (średnie) • GMK

Zadania: 60

Współrzędne punktów w ukł. współrzędnych (trudne) • GJK

Współrzędne punktów w przestrzeni (średnie) • GJR

Odległość między punktami w ukł. współrzędnych (łatwe) • GJS

Zadania: 43

Odległość między punktami w ukł. współrzędnych (średnie) • GJT

Zadania: 44

Odległość między punktami w przestrzeni (średnie) • GLP

Punkty: różne (łatwe) • FSX

Zadania: 131

Punkty: różne (średnie) • FSN

Długość odcinka w ukł. współrzędnych (łatwe) • GLZ

Zadania: 43

Długość odcinka w ukł. współrzędnych (średnie) • GL1

Zadania: 44

Środek odcinka w ukł. współrzędnych (łatwe) • GM3

Zadania: 39

Środek odcinka w ukł. współrzędnych (średnie) • GM4

Zadania: 44

Wzajemne położenie odcinków w ukł. współrzędnych (łatwe) • GMX

Zadania: 37

Wzajemne położenie odcinków w ukł. współrzędnych (średnie) • GMZ

Długość odcinka w przestrzeni (średnie) • GML

Środek odcinka w przestrzeni (średnie) • GNH

Wzajemne położenie odcinków w przestrzeni (trudne) • GM2

Zadania: 40

Odcinki: miks przykładów (łatwe) • FSZ

Zadania: 121

Odcinki: miks przykładów (średnie) • FNJ

Wektory: pojęcia (średnie) • FNK

Zadania: 34

Wektory: pojęcia (trudne) • GJO

Zadania: 32

Współrzędne wektora (średnie) • GKK

Współrzędne wektora (trudne) • GKL

Wektory: współrzędne w przestrzeni (średnie) • GNV

Długość wektora (średnie) • GJU

Długość wektora (trudne) • GJV

Wzajemne położenie wektorów (średnie) • GJ4

Wzajemne położenie wektorów (trudne) • GJ6