Ułamki zwykłe, procenty, ułamki dziesiętne

Choć na pierwszy rzut oka ułamki zwykłe, procenty i ułamki dziesiętne wyglądają zupełnie inaczej, to mają ze sobą wiele wspólnego – dzięki nim możemy wrazić jakąś część całości.

Na przykład, jeśli szklanka jest w połowie wypełniona wodą, to ten stan rzeczy możemy zapisać za pomocą:

• ułamka zwykłego: \frac{1}{2},
• procentów: 50%,
• ułamka dziesiętnego: 0,5.

Inny przykład – zrobiliśmy pizzę, pokroiliśmy ją na cztery kawałki i jeden kawałek zjedliśmy. Zostały nam trzy kawałki. Ten stan rzeczy zapisać za pomocą:

• ułamka zwykłego: \frac{3}{4},
• procentów: 75%,
• ułamka dziesiętnego: 0,75.

Ułamki zwykłe zapisujemy w postaci \frac{a}{b}, gdzie a to licznik, a b to mianownik. Kreska pomiędzy nimi to tzw. kreska ułamkowa. Symbolizuje ona znak dzielenia. A ponieważ nie można dzielić przez zero, to mianownik musi być różny od zera.
Na przykład: w przypadku ułamka \frac32 w liczniku mamy liczbę 3, a w mianowniku liczbę 2, czyli wartość ułamka \frac32 to 3:2 = 1{,}5 („jeden i pół“).

Rozszerzanie i skracanie

Wartość ułamka nie zmienia się podczas rozszerzania i skracania (za pomocą liczby c innej niż zero).

Na przykład:

• Rozszerzenie ułamka \frac64 za pomocą liczby 5: \frac64 = \frac{6\cdot 5}{4\cdot 5} = \frac{30}{20}.
• Skrócenie ułamka \frac64 za pomocą liczby 2: \frac64 = \frac{6:2}{4:2} = \frac{3}{2}.

Najprostsza postać

Dzięki rozszerzaniu i skracaniu możemy zapisać jedną wartość za pomocą nieskończenie wielu różnych ułamków. Ułamek \frac{a}{b} jest w najprostszej postaci, jeżeli liczb w liczniku i mianowniku nie można skrócić (tzn. nie ma już żadnej liczby całkowitej, przez którą można podzielić i licznik, i mianownik, ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1). Na przykład:

• Ułamek \frac64 nie jest w najprostszej postaci, ponieważ liczby 6 i 4 można skrócić (mają wspólny dzielnik 2).
• Ułamek \frac34 jest w najprostszej postaci, ponieważ liczb 3 i 4 nie można skrócić.

Ułamki zwykłe zapisujemy w postaci \frac{a}{b}, gdzie a to licznik, a b to mianownik. Kreska pomiędzy nimi to tzw. kreska ułamkowa. Symbolizuje ona znak dzielenia. A ponieważ nie można dzielić przez zero, mianownik musi być różny od zera.
Na przykład: w ułamku \frac32 licznikiem jest liczba 3, a mianownikiem liczba 2, wartość ułamka \frac32 jest równa ilorazowi 3:2 = 1{,}5 („jeden i pół“).

Ułamek \frac{a}{b} jest w najprostszej postaci, jeżeli liczby a, b są liczbami względnie pierwszymi (czyli ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1). Ułamki doprowadzamy do najprostszej postaci za pomocą skracania.
Na przykład:

• Ułamek \frac64 nie jest w najprostszej postaci, ponieważ liczby 6 i 4 można skrócić – mają wspólny dzielnik 2, przez który możemy podzielić licznik i mianownik. W ten sposób otrzymamy najprostszą postać \frac32.
• Ułamek \frac34 jest w najprostszej postaci, ponieważ liczby 3 i 4 są względnie pierwsze, czyli ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1.

Podstawowe umiejętności dotyczące ułamków możesz przećwiczyć na następujących tematach:

• Rozpoznawanie ułamków
• Ułamki na osi liczbowej
• Porównywanie ułamków
• Liczby mieszane

Ułamki wyrażają jakąś „część całości“. Możemy przedstawić je graficznie na wiele sposobów:

Ułamek zwykły możemy zaznaczyć na osi liczbowej, zamieniając go najpierw na ułamek dziesiętny (w tym celu dzielimy licznik przez mianownik), a następnie postępując tak samo jak w przypadku ułamków dziesiętnych. Na przykład \frac{6}{5} = 1{,}2, czyli ułamek \frac{6}{5} znajduje się o dwie dziesiąte za jedynką. Inne przykłady:

Ułamki mniejsze od 1 możemy zaznaczać na osi liczbowej bez zamiany na liczbę dziesiętną, korzystając z wyobrażenia „części całości“. Jeśli chcemy zaznaczyć ułamek \frac{3}{7}, wyobrażamy sobie, że dzielimy odcinek od 0 po 1 na siedem równych części. Następnie zaznaczamy trzecią z tych części – to właśnie ułamek \frac{3}{7}.

Warto wyrobić sobie dobrą intuicję szczególnie dla ułamków o małym mianowniku:

Zanim przystąpimy do porównywania ułamków zwykłych, przypomnijmy sobie, gdzie jest licznik („na górze“), a gdzie mianownik („na dole“). Czyli w ułamku \frac{3}{7} licznikiem będzie liczba 3, a mianownikiem liczba 7.

Porównywanie ułamków o tym samym mianowniku

Porównywanie ułamków o jednakowych mianownikach jest proste — wystarczy porównać liczniki. Weźmy na przykład ułamki \frac{3}{7} i \frac{5}{7}. Liczba 5 jest większa od liczby 3, zatem drugi ułamek będzie większy. Innymi słowy, jeśli podzielimy pizzę na siedem kawałków, to osoba, która zje pięć kawałków, zje więcej od osoby, która zje trzy kawałki.

Porównywanie ułamków o tym samym liczniku

Jeśli ułamki mają ten sam licznik, wystarczy porównać mianowniki. Obowiązuje zasada, że im mniejszy mianownik, tym większy ułamek. Weźmy na przykład ułamki \frac{1}{4} i \frac{1}{5}. Jedna czwarta jest większa od jednej piątej. Innymi słowy, jeśli mam dostać tylko jeden kawałek pizzy, to będzie on większy, jeżeli podzielimy pizzę na 4 kawałki, niż gdybyśmy podzielili ją na pięć kawałków.

Różne mianowniki i liczniki

W takiej sytuacji najpierw musimy sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, a dopiero potem porównać liczniki. Na przykład: porównujemy ułamki \frac{2}{3} i \frac{4}{7}. Najmniejszy wspólny mianownik to 21, po rozszerzeniu otrzymujemy ułamki \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 7}{3\cdot 7}=\frac{14}{21} i \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}. Ponieważ 14 \gt 12, większy jest pierwszy ułamek, czyli \frac{2}{3}.

Porównywanie bez obliczeń

Nierzadko możemy porównać ułamki bez wykonywania dokładnych obliczeń, musimy tylko dobrze je sobie wyobrazić lub porównać z odpowiednią wartością „pomiędzy”.

• Ułamki \frac{2}{3} i \frac{7}{6}. Pierwszy ułamek jest mniejszy niż 1, drugi ułamek jest większy niż 1. Zatem \frac{2}{3} \lt \frac{7}{6}.

• Ułamki \frac{1}{3} i \frac{4}{5}. Pierwszy ułamek na pewno jest mniejszy niż jedna druga, drugi jest dużo większy niż jedna druga. Zatem \frac{1}{3} \lt \frac{4}{5}.

Ułamki, w których licznik jest mniejszy niż mianownik (czyli ułamek jest mniejszy od jeden), nazywamy ułamkami właściwymi. Ułamki niewłaściwe (czyli większe od jeden) możemy zapisać za pomocą liczb mieszanych. Liczba mieszana a\frac{b}{c} to zapis sumy a + \frac{b}{c}, gdzie \frac{b}{c} to ułamek dodatni mniejszy od jeden.

Zamianę liczby mieszanej na ułamek możemy przeprowadzić, wiedząc, że jedność możemy zapisać jako \frac{c}{c}.

Zamianę ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną wykonujemy za pomocą dzielenia z resztą. Liczba całkowita oznacza iloraz, zaś licznik ułamka resztę.

Podstawowe działania na ułamkach zwykłych to:

Skracanie ułamków

• Aby skrócić ułamek, musimy podzielić licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik.
• Ułamek \frac{9}{12} możemy skrócić na \frac{3}{4}, ponieważ licznik i mianownik mają wspólny dzielnik 3.

Dodawanie i odejmowanie ułamków

• Aby dodać lub odjąć od siebie ułamki, musimy najpierw sprowadzić je do wspólnego mianownika.
• \frac{1}{4} + \frac{1}{6} sprowadzamy do wspólnego mianownika 12 i otrzymujemy \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}.

Mnożenie i dzielenie ułamków

• Aby pomnożyć ułamki, musimy pomnożyć licznik przez licznik i mianownik przez mianownik.
• \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
• Aby wykonać dzielenie, musimy odwrócić drugi ułamek i pomnożyć go tak jak wyżej.
• \frac{2}{3} : \frac{3}{4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{9}

Ułamki a procenty

• Aby zamienić ułamek zwykły na procenty, musimy pomnożyć go przez 100.
• \frac{3}{4} = 0{,}75 = 75 \%

Ułamki zwykłe a dziesiętne

• Aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, musimy podzielić licznik przez mianownik. W odwrotną stronę, czyli aby zamienić ułamek dziesiętny na zwykły, musimy pomnożyć go przez potęgę liczby dziesięć.
• \frac{2}{5} = 2 : 5 = 0{,}4
• 0{,}25 = 0{,}25 \cdot\frac{100}{100} = \frac{25}{100}, po skróceniu \frac{1}{4}

Tę samą wartość możemy zapisać za pomocą różnych ułamków, np. \frac23 = \frac46 = \frac{10}{15} = \frac{200}{300}. Jednak tylko jedno z przedstawień oznaczamy jako najprostsza postać. Ułamek jest w najprostszej postaci, jeżeli liczb w liczniku i mianowniku nie można skrócić (tzn. nie ma już żadnej liczby całkowitej, przez którą można podzielić i licznik, i mianownik, ich jedynym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1). W powyższym przykładzie w najprostszej postaci jest ułamek \frac23.

Skracanie ułamków polega na wydzieleniu licznika i mianownika przez tą samą liczbę różną od zera. Skracanie ułamków nie powoduje zmiany ich wartości. Jeżeli chcemy doprowadzić ułamek do najprostszej postaci, skracamy licznik i mianownik za pomocą największego wspólnego dzielnika.

Na początek przypomnijmy sobie, co jest licznikiem („to na górze“), a co mianownikiem („to na dole“). W ułamku \frac{3}{7} 3 to licznik, a 7 mianownik.

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach

Jeżeli ułamki, które chcemy dodać do siebie, mają taki sam mianownik, sprawa jest prosta – wystarczy dodać liczniki. Mianownik pozostawiamy bez zmian, czyli \frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}.

Dodawanie ułamków o różnych mianownikach

Jeżeli ułamki, które chcemy dodać do siebie, mają różne mianowniki, musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Aby rozszerzyć ułamki do wspólnego mianownika, należy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników. Następnie możemy dodać ułamki w sposób opisany powyżej.

Przekształcanie i odejmowanie

Otrzymany ułamek najczęściej należy jeszcze doprowadzić do najprostszej postaci, czyli skrócić. Odejmowanie ułamków wykonujemy podobnie jak dodawanie.

Przykłady

Aby lepiej wyobrazić sobie, na czym polega mnożenie ułamków zwykłych, weźmy tabliczkę czekolady. Jeżeli mnożymy \frac45\cdot \frac23, to jest to tak, jakbyśmy wzięli cztery kolumny z pięciu i dwa rzędy ze trzech. Ile kawałków czekolady łącznie wzięliśmy? Osiem z piętnastu, czyli \frac{8}{15}.

Aby pomnożyć ułamki zwykłe, musimy po prostu pomnożyć przez siebie liczniki pierwszego i drugiego ułamka oraz pomnożyć przez siebie mianowniki pierwszego i drugiego ułamka: \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}. Jeżeli chcemy oszczędzić sobie mnożenia wielkich liczb, możemy ułamki skrócić – również „na krzyż“.

Dzielenie ułamków zwykłych to to samo, co mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka: \frac{a}{b}:\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}.

Do bardziej zaawansowanych działań na ułamkach należy potęgowanie ułamków oraz użycie ich w wyrażeniach i równaniach algebraicznych.

Potęgowanie i pierwiastkowanie ułamków zwykłych

Aby podnieść ułamek zwykły do potęgi, musimy podnieść do zadanej potęgi licznik i mianownik. I odwrotnie, aby wyciągnąć pierwiastek z ułamka zwykłego, musimy wyciągnąć zadany pierwiastek z licznika i mianownika:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (w przypadku, gdy podnosimy ułamek do potęgi -1, musimy go odwrócić)

Potęgi o wykładniku ułamkowym

W przypadku, gdy mamy potęgę o wykładniku ułamkowym, licznik ułamka zapiszemy w pierwiastku, a mianownik ułamka w potędze, czyli x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}. Na przykład:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Procent (%) to bezwymiarowa jednostka określająca jedną setną całości. Na przykład zapis „42%“ (42 procent) oznacza tyle samo co ułamek zwykły \frac{42}{100} lub ułamek dziesiętny 0,42.

Promil (‰) to jedna dziesiąta procentu, czyli jedna tysięczna całości.

Podstawowym zastosowaniem procentów jest określenie jakiejś części całości, na przykład:

• jaka część mieszkańców pracuje w rolnictwie,
• ilu studentów zdało egzamin,
• ile alkoholu zawiera butelka wina.

Inne zastosowania procentów:

• określenie prawdopodobieństwa (jaka jest szansa, że jutro będzie padać),
• stosunki finansowe (obniżki, odsetki),
• przetwarzanie i prezentacja danych statystycznych.

W przypadku najczęściej używanych procentów warto nauczyć się na pamięć, jaką część całości wyrażają.

Obliczając procent z danej liczby, należy pamiętać, że procent to jedna setna, czyli \frac{1}{100}. Zatem aby obliczyć na przykład „15% z 300“, wykonujemy następujące działanie: \frac{15}{100} \cdot 300 = 15 \cdot 3 = 45.

W przypadku niektórych, często używanych procentów możemy sobie uprościć ich obliczanie:

• 50% = połowa, czyli dzielimy przez 2

• 25% = jedna czwarta, czyli dzielimy przez 4

• 10% = jedna dziesiąta, czyli dzielimy przez 10

• 90% = bez jednej dziesiątej

Zamiana procentów na ułamki zwykłe

Jeden procent to inaczej jedna setna, czyli \frac{1}{100}. Zatem musimy pomnożyć liczbę procentów przez ułamek \frac{1}{100}. Innymi słowy, liczbę procentów zapisujemy w liczniku, a w mianowniku 100. Następnie możemy skrócić ułamek (za pomocą dzielenia przez największy wspólny dzielnik). Na przykład:

• 45\% = 45 \cdot \frac{1}{100} = \frac{45}{100} = \frac{5\cdot 9}{5\cdot 20}= \frac{9}{20}
• 12\% = 12 \cdot \frac{1}{100} = \frac{12}{100} = \frac{4\cdot 3}{4\cdot 25}= \frac{3}{25}

Zamiana ułamków zwykłych na procenty

Chcemy wyrazić ułamek \frac{a}{b} jako p\%. Wiemy, że jeden procent to jedna setna. Możemy to zapisać w następujący sposób \frac{a}{b} = \frac{p}{100}. Zatem p = \frac{a}{b}\cdot 100. Innymi słowy, wystarczy pomnożyć ułamek zwykły przez 100. Na przykład:

• \frac{2}{5} = \frac{2}{5} \cdot 100\% = \frac{200}{5}\% = 40\%
• \frac{3}{20} = \frac{3}{20} \cdot 100\% = \frac{300}{20}\% = 15\%

Ułamek dziesiętny to sposób zapisu liczby za pomocą części całkowitej i części ułamkowej, które oddzielone są przecinkiem dziesiętnym (separatorem dziesiętnym). Na przykład w zapisie 154,28 częścią całkowitą jest 154, a częścią ułamkową 28. Na pierwszym miejscu za przecinkiem dziesiętnym są części dziesiąte, na drugim części setne, a na trzecim części tysięczne.

Za pomocą ułamków dziesiętnych zapisujemy liczby, które nie są „całe“. Na przykład, jeżeli podzielimy 6 drożdżówek po równo pomiędzy 4 dzieci, to każde dziecko otrzyma „jeden i pół“ drożdżówki, które zapiszemy jako 1,5.

Komentarz do zapisu ułamków dziesiętnych. W Polsce do zapisu ułamków dziesiętnych zwyczajowo używamy przecinka dziesiętnego. W krajach anglosaskich używa się kropki dziesiętnej, tzn. zamiast 154,28 pisze się 154.28. Taki sposób zapisu używany jest również w informatyce na całym świecie.

Za pomocą ułamków dziesiętnych wyrażamy liczby, które nie są „całe“. Na przykład: Jeśli podzielimy 6 drożdżówek sprawiedliwie pomiędzy 4 dzieci, każde dziecko dostanie „jedną całą drożdżówkę i jeszcze połowę kolejnej“, co zapisujemy jako 1,5.

Na tej stronie znajdziesz podstawowe ćwiczenia dotyczące ułamków dziesiętnych:

• Ułamki dziesiętne: zapis słowny
• ⁠⁠⁠Porównywanie ułamków dziesiętnych – porównywanie dodatnich i ujemnych ułamków dziesiętnych
• Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych – zaokrąglanie do różnej liczby miejsc po przecinku
• Ułamki dziesiętne na osi liczbowej – umiejętność rozmieszczenia ułamków dziesiętnej na osi liczbowej pomoże nam w innych działaniach (np. przy zaokrąglaniu i porównywaniu)

Kolejny temat poświęcony jest działaniom na ułamkach dziesiętnych.

Ułamki (liczby) dziesiętne możemy czytać na różne sposoby. W szkole zazwyczaj używamy określeń takich jak „dziesiąte“, „setne“ i „tysięczne“, które oznaczają, ile cyfr występuje po przecinku. Przecinek czytamy jako „i“.

W życiu codziennym bardzo często używamy bardziej „łopatologicznego" sposobu, czyli po prostu czytamy wszystkie liczby po kolei, a oddzielający je przecinek czytamy po prostu jako… „przecinek“.

Czasem ułamek dziesiętny możemy również przeczytać tak, jakby był ułamkiem zwykłym, lub opisowo:

Porównując ułamki dziesiętne, musimy znaleźć „najważniejszy“ element, którym różnią się od siebie, a następnie wykonać porównanie na jego podstawie. Czyli najpierw porównujemy części całkowite. Jeżeli części całkowite są takie same, przechodzimy do porównywania kolejnych cyfr, czyli części dziesiątych, setnych, tysięcznych itd. Nie zapomnijmy skontrolować znaku, który ma takie same znaczenie jak w przypadku liczb całkowitych. Przykłady:

• 15{,}3 < 17{,}9987 – ułamki różnią się częścią całkowitą, czyli na potrzeby porównania możemy całkowicie zignorować części ułamkowe.

• 0{,}2 > 0{,}17 – części całkowite są takie same, zatem bierzemy pod uwagę części dziesiąte, gdzie 2>1. W przykładach tego typu często popełniany jest błąd, który wynika z tego, że na pierwszy rzut oka wydaje się, że 17 > 2. Dla ułatwienia warto rozszerzyć część ułamkową, czyli dodać zero z prawej strony: 0{,}20 > 0{,}17.

• 3{,}21 > -3{,}22 – tu w ogóle nie mają znaczenia części ułamkowe, ponieważ pierwsza liczba jest dodatnia, a druga ujemna.

• -4{,}2791 < -4{,}2758 – porównujemy na podstawie cyfr w miejscu części tysięcznych (9 i 5), wynik jest „odwrotny“, ponieważ są to liczby ujemne.

Zaokrąglanie ułamków dziesiętnych działa podobnie jak zaokrąglanie liczb całkowitych, z tą różnicą, że uwzględniamy również część po przecinku. W przypadku ułamków dziesiętnych jest ono szczególnie ważne, ponieważ czasami nie można go uniknąć – niektórych liczb w systemie dziesiętnym nie da się zapisać dokładnie, np. \frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots, \sqrt{2} = 1{,}4142\ldots, \pi = 3{,}14 159\ldots

Zaokrąglanie do części dziesiątych oznacza, że zostawiamy tylko jedną cyfrę po przecinku. W tym celu sprawdzamy cyfrę stojącą na drugim miejscu po przecinku. Zaokrąglanie do części setnych oznacza, że zostawiamy tylko dwie cyfry po przecinku. W tym celu sprawdzamy cyfrę stojącą na trzecim miejscu po przecinku. Podobnie postępujemy przy większej dokładności. Podczas zaokrąglania obowiązuje zasada:

• jeśli cyfra jest z zakresu 0–4, zaokrąglamy w dół,
• jeśli cyfra jest z zakresu 5–9, zaokrąglamy w górę.

Przykłady:

• 3,628 zaokrąglone do części dziesiątych to 3,6.

• 3,628 zaokrąglone do części setnych to 3,63.

• 12,25 zaokrąglone do części dziesiątych to 12,3.

• 4,8975 zaokrąglone do liczby całkowitej to 5.

• 84,15 zaokrąglone do dziesiątek to 80 (uwaga na różnicę między zaokrąglaniem do „części dziesiątych” a do „dziesiątek”).

Podobnie jak w przypadku innych osi liczbowych, w pierwszej kolejności należy ustalić, jakie są odstępy pomiędzy punktami na osi liczbowej. W przypadku zadań z liczbami dziesiętnymi odstęp zazwyczaj wynosi 0,1 (jedną dziesiątą), ale może być też inny.

Na przykład:

Podczas dodawania i odejmowania ułamków dziesiętnych postępujemy tak samo jak w przypadku dodawania i odejmowania liczb całkowitych, z tą różnicą, że liczby muszą być “wyrównane” przecinkami. Można sobie pomóc (zwłaszcza podczas dodawania i odejmowania pod kreską), uzupełniając zera po prawej stronie, aby za przecinkiem było tyle samo cyfr.

Przykłady:

• 1{,}2+2{,}3 = 3{,}5

• 3{,}457+4{,}2 = 3{,}457+4{,}200 = 7{,}657

• 1{,}3-0{,}8 = 0{,}5

• 0{,}001+0{,}01+0{,}1 = 0{,}001+0{,}010+0{,}100 = 0{,}111

• 2{,}01-0{,}1 = 2{,}01 - 0{,}10 = 1{,}91

Mnożenie ułamków dziesiętnych możemy wykonać w następujący sposób: Mnożymy je tak samo jak liczby naturalne, nie zwracając uwagi na przecinek. Następnie w otrzymanym wyniku wstawiamy przecinek w taki sposób, aby liczba miejsc po przecinku była równa łączniej liczbie miejsc po przecinku w obu mnożonych ułamkach. Przykłady:

• 5 \cdot 0{,}4 – mnożymy 5\cdot 4 = 20, w wyniku wstawiamy przecinek, licząc 0+1=1 miejsce od końca, otrzymujemy 2{,}0, czyli 2.

• 2{,}5 \cdot 0{,}05 – mnożymy 25\cdot 5=125, w wyniku wstawiamy przecinek, licząc 1+2=3 miejsca od końca, otrzymujemy 0,125.

• 0{,}9 \cdot 0{,}8 – mnożymy 9\cdot 8=72, w wyniku wstawiamy przecinek, licząc 1+1=2 miejsca od końca, otrzymujemy 0,72.

Otrzymany wynik można w łatwy i szybki sposób sprawdzić za pomocą szacowania, zaokrąglając ułamki. W przykładzie 0{,}9 \cdot 0{,}8 oba czynniki są „trochę mniejsze od 1“, czyli wynik też musi być „trochę mniejszy niż 1\cdot 1“, w przykładzie 4{,}92\cdot 3{,}06 zaś możemy oszacować, że wynik powinien wynosić plus minus 5\cdot 3=15.

Dzielenie ułamków dziesiętnych możemy sobie znacząco ułatwić. Wystarczy, że pozbędziemy się części ułamkowej, mnożąc dzielną i dzielnik przez taką wartość, aby otrzymać liczby całkowite (czyli przez liczbę 10 lub jej wielokrotność). Następnie możemy wykonać zwykłe dzielenie. Przykłady:

• 8:0{,}2 = 80:2 = 40
• 1:0{,}05 = 100:5 = 20
• 2{,}5:2 = 25:20 = 1{,}25

Zamiana ułamka dziesiętnego na zwykły

Ułamek dziesiętny mnożymy przez 10, 100, 1000 (lub inną odpowiednią potęgę liczby 10), aby „pozbyć się” przecinka. Następnie przy pomocy największego wspólnego dzielnika doprowadzamy otrzymany ułamek do najprostszej postaci, czyli skracamy go.

• 1{,}5 = 1{,}5\cdot \frac{10}{10} = \frac{1{,}5\cdot 10}{10} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

• 1{,}25 = 1{,}25 \cdot \frac{100}{100} = \frac{1{,}25\cdot 100}{100} = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}

Warto zapamiętać kilka najczęstszych przykładów, dzięki którym szybciej rozwiążemy inne, bardziej skomplikowane zadania.

• 0{,}01 = \frac{1}{100}

• 0{,}1 = \frac{1}{10}

• 0{,}2 = \frac{1}{5}

• 0{,}25 = \frac{1}{4}

• 0{,}333\ldots = \frac{1}{3}

• 0{,}5 = \frac{1}{2}

Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny

Wartość ułamka zwykłego to iloraz licznika i mianownika. Zatem aby zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, wystarczy podzielić licznik przez mianownik (można zastosować metodę dzielenia „pod kreską”).

Przykłady:

• \frac{3}{4} = 3:4 = 0{,}75

• \frac{6}{5} = 6:5 = 1{,}2

• \frac{3}{20} = 3:20 = 0{,}15