Wyrażenia algebraicze, równania, nierówności

Proporcjonalność prosta

Proporcjonalność prosta to zależność między dwoma wielkościami y i x, gdzie wraz ze wzrostem wielkości x wzrasta proporcjonalnie również wartość wielkości y. Proporcjonalność prostą można opisać wzorem y=a\cdot x, gdzie a jest współczynnikiem proporcjonalności. Wykresem proporcjonalności prostej jest linia prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (punkt [0, 0]).

Proporcjonalność odwrotna

Proporcjonalność odwrotna to zależność między dwoma wielkościami y i x, gdzie wraz ze wzrostem wielkości x proporcjonalnie zmniejsza się wartość wielkości y. Proporcjonalność odwrotną można opisać wzorem: y=\frac{a}{x}. Wykresem proporcjonalności odwrotnej jest hiperbola.

Stosunek dwóch lub więcej wielkości opisuje relację tych wielkości. Przykładowo stosunek dwóch liczb mówi nam, ile razy jedna liczba jest większa (lub mniejsza) od drugiej. Ze stosunkami spotykamy się zarówno w życiu codziennym, jak i w matematyce: określają one na przykład proporcje boków ekranu (16:9), skalę mapy (1:50 000) lub skład mieszaniny dwóch substancji w określonym stosunku. Stosunki są ściśle związane z ułamkami oraz pojęciem podobieństwa w geometrii.

Stosunek dwóch wielkości, np. 2:4, określa zależność między ich wartościami. Zapisujemy go za pomocą dwukropka i odczytujemy jako „dwa do czterech”.

Dziadek znalazł 10 prawdziwków i 1 Stosunek liczby prawdziwków do liczby kani w koszyku dziadka wynosi 10:1.

Stosunek możemy skracać i rozszerzać, podobnie jak ułamki.

Stosunek liczby prawdziwków do liczby kani 10:1 można równie dobrze wyrazić jako 20:2 lub 1:0{,}1.

Stosunek, którego nie można już skrócić, jest zapisany w postaci nieskracalnej.

Postać nieskracalna stosunku 2:4 to 1:2.

Jeśli porównujemy więcej niż dwie wielkości, możemy zapisać stosunek wieloczłonowy.

Kalarepa, rzodkiewki i marchew wyrosły w naszym ogródku w stosunku 2:10:11.

Stosunkiem odwrotnym do stosunku a:b nazywamy stosunek b:a.

Stosunek objętości syropu do wody w napoju wynosi 1:10, a stosunek odwrotny 10:1 oznacza stosunek objętości wody do syropu.

Skala mapy, planu, pomniejszonego modelu

Skala mapy jest szczególnym przypadkiem stosunku dwóch wielkości. Informuje nas o tym, ile razy przedstawiony obraz został pomniejszony w stosunku do rzeczywistego.

Skala powiększonego modelu

Podobnie jest w przypadku powiększonego modelu bardzo małej rzeczy lub stworzenia. Tam również stosujemy stosunek wielkości obrazu do wielkości rzeczywistej.

Wyrażenie algebraiczne składa się ze stałych („liczby“) i zmiennych („literki“) połączonych ze sobą za pomocą znaków działań (np. dodawania, mnożenia) oraz nawiasów. Zmienne zastępują liczby z określonego zbioru wartości. Za pomocą wyrażeń algebraicznych możemy wykonywać różne operacje matematyczne.

Przykład:

• Pan Rolniak ma na podwórku p prosiaków i k kur.
• Wyrażenie 4\cdot p + 2 \cdot k wyraża łączną liczbę nóg, które mają zwierzęta na podwórku.
• W tym wyrażeniu liczby 4 i 2 to stałe, a litery p i k to zmienne, które należą do zbioru liczb naturalnych.
• Wyrażenie możemy zapisać w postaci 2(2p+k), zachowując wartość wyrażenia dla wszystkich wartości zmiennych.

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy podstawić liczby w miejsce zmiennych. Częstym powodem błędnych obliczeń jest niezwrócenie uwagi na minusy (dlatego przed przystąpieniem do podstawiania do wyrażeń warto powtórzyć sobie działania na liczbach ujemnych).

Przykłady

Wykonujemy takie uproszczenia wyrażeń, które zachowują wartość wyrażenia dla wszystkich możliwych podstawień w miejsce zmiennej. Przykłady uproszczeń:

Przy odejmowaniu nawiasów pamiętaj o ważnej zasadzie „minus i minus daje plus".

Wykonujemy takie uproszczenia wyrażeń, które zachowują wartość wyrażenia dla wszystkich możliwych podstawień w miejsce zmiennych. Przykłady uproszczeń:

Wyrażenia z ułamkami upraszczamy w taki sam sposób jak wyrażenia z jedną niewiadomą, z tą różnicą, że musimy dodatkowo wykonać działania charakterystyczne dla ułamków, np. skracanie ułamków, dodawanie i odejmowanie ułamków, mnożenie i dzielenie ułamków. Np.:

Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów. Zazwyczaj zapisujemy je w postaci ułamka zwykłego, np. \frac{x+2}{x^2-1}.

• Dla każdego wyrażenia wymiernego musimy wyznaczyć dziedzinę wyrażenia wymiernego, czyli zbiór liczb, dla którego wyrażenie ma sens liczbowy, czyli jest różne od zera. A wszystko dlatego, że nie można dzielić przez zero.

• Przekształcanie wyrażeń wymiernych oraz działania na nich wykonujemy podobnie jak w przypadku zwykłych ułamków, pamiętając, że liczniki i mianowniki wyrażeń wymiernych są wielomianami.

Najprostsze równania, takie jak x+2 = 5 lub 3x = 15, można rozwiązać w jednym kroku. Innymi słowy, wystarczy wykonać jedną prostą operację (np. w pierwszym przypadku odjąć liczbę 2 od obu stron równania ). Takie równania można zazwyczaj rozwiązać również intuicyjnie – zastanawiając się, do jakiej liczby musimy dodać 2, abyśmy otrzymali 5. Są więc doskonałym punktem wyjścia do zapoznania się z tematyką równań.

Najprostsze równania to równania liniowe, czyli takie, w których występują tylko liczby (stałe) oraz niewiadoma x w pierwszej potędze. Takie równania rozwiązujemy metodą równań równoważnych: dodając lub odejmując taką samą liczbę lub niewiadomą po obydwu stronach równania oraz mnożąc lub dzieląc obydwie strony równania przez taką samą liczbę lub niewiadomą. Za pomocą takich przekształceń otrzymujemy równanie w postaci x = a, gdzie a to rozwiązanie równanie.

Liczba rozwiązań

W przypadku równań liniowych z jedną niewiadomą możemy spotkać się ze trzema sytuacjami:

• Równanie nie ma żadnego rozwiązania, np. x+2=x+3 (takie równanie nazywamy równaniem sprzecznym).
• Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, np. w przypadku równania x+1+x = 2x+1 rozwiązaniem może być dowolna liczba.
• Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, np. przytoczone wyżej równanie 2x-7 = 5-4x ma tylko jedno rozwiązanie x=2.

Częste błędy

Do częstych błędów przy rozwiązywaniu równań należą:

• przekształcenie równania (np. dodanie liczby, podzielenie przez liczbę) tylko po jednej stronie
• niepoprawne łączenie liczb i wyrażeń z x, np. przekształcenie 3x + 2 na 5x
• zły znak przy przenoszeniu wyrazów z jednej strony równania na drugą.

Równania z nawiasami możemy rozwiązywać w ten sam sposób co „zwykłe” równania, z tą różnicą, że w pierwszym kroku pozbywamy się nawiasów.

Jednak w niektórych przypadkach nie warto tracić czasu na wymnażanie nawiasów. Na przykład równanie 3(x+1) = 18 lepiej podzielić przez 3, dzięki czemu będzie ono miało postać x+1 = 6, z której możemy z łatwością obliczyć, że x=5.

Jeśli w równaniu pojawia się ułamek, w którym niewiadoma jest w mianowniku, to najpierw mnożymy całe równanie przez mianownik (albo przez wspólną wielokrotność wszystkich mianowników, jeśli jest ich więcej). W ten sposób pozywamy się ułamków i otrzymujemy równanie liniowe, które możemy je rozwiązać zwykłym sposobem.

Przykład

Równania z ułamkami zwykłymi rozwiązujemy podobnie jak „zwykłe” równania, z tą różnicą, że wykonujemy działania na ułamkach.

Często możemy uniknąć działań na ułamkach, mnożąc najpierw całe równanie przez wspólną wielokrotność wszystkich liczb w mianowniku ułamków.

Przykład rozwiązania

Równania z ułamkami dziesiętnymi rozwiązujemy podobnie jak „zwykłe” równania, pamiętając jedynie o regułach dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia ułamków dziesiętnych. Często możemy ułatwić sobie zadanie, mnożąc całe równanie przez dziesięć (lub przez wyższą potęgę liczby dziesięć).

Przykład

Pojęcia

Równanie kwadratowe to równanie, które można zapisać w postaci ogólnej ax^2+bx+c=0, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi oraz a\neq 0. Zatem jest to równanie, w którym niewiadoma x występuje w drugiej potędze. W opisie równań kwadratowych używamy różnych nazw:

• ax^2 to człon kwadratowy,
• bx to człon liniowy,
• c to wyraz stały.

Szczególe rodzaje równań kwadratowych:

• Jeżeli b=0, mówimy o równaniu bez członu liniowego: ax^2+c=0.
• Jeżeli c=0, mówimy o równaniu bez wyrazu wolnego: ax^2+bx=0.

Rozwiązywanie równania kwadratowego

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać, obliczając deltę Δ. Używamy wzoru: Δ=b^2-4\cdot a\cdot c. Możliwe są trzy przypadki:

• Δ \lt 0 – równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych,
• Δ = 0 – równanie ma jedno rozwiązanie (tzw. pierwiastek podwójny),
• Δ \gt 0 – równanie ma dwa rozwiązania.

Pierwiastki równania kwadratowego obliczamy ze wzorów:

• x_1=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}
• x_2=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}

Wzory Viète’a

Równania kwadratowe możemy rozwiązywać także bez obliczania delty, korzystając ze wzorów Viète’a, które mają postać: x_1+x_2=-\frac{b}{a}, x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}. W przypadku, gdy a=1: x_1+x_2=-b, x_1\cdot x_2=c.

Podczas rozwiązywania zadań tekstowych często musimy zamienić opisaną w zadaniu sytuację na zapis matematyczny – równanie lub wyrażenie algebraiczne. Zamiast szukać jednej konkretnej liczby, tworzymy wzór, który opisuje całą sytuację.

Aby poprawnie zapisać równanie lub wyrażenie, warto najpierw podzielić treść zadania na poszczególne elementy. Następnie wyrażamy je za pomocą zmiennych i łączymy odpowiednimi działaniami matematycznymi.

W zadaniach tekstowych niewiadome często nie są podane wprost. Trzeba wtedy samodzielnie zdecydować, co oznaczyć jako niewiadomą i jak ją zapisać. Jest to ważna część zadania.

W tej sekcji znajdziesz zadania, w których niewiadome są już jasno oznaczone w treści. Dzięki temu możesz skupić się na zapisaniu opisanej sytuacji za pomocą równania.

Przykładowa treść takiego zadania: Napełnianie basenu trwało 6 godzin, a woda dopływała dwiema rurami. Pierwszą rurą dopływało 300 litrów wody na godzinę, a drugą x litrów wody na godzinę. Chcemy zapisać równanie określające całkowitą objętość basenu y.

Rozwiązanie: 6 \cdot (300 + x) = y

Zadania tekstowe typu „Mam na myśli pewną liczbę“ polegają na odgadnięciu „tajnej“ liczby, którą pomyślała jakaś osoba, na podstawie informacji, które nam podała.

Przykład: Mam na myśli pewną liczbę. Jeśli odejmę od niej 6, a wynik podzielę przez dwa, to otrzymam liczbę 2. Jaką liczbę mam na myśli?

Łatwiejsze zadania tego typu można obliczyć w głowie. W przypadku trudniejszych przykładów warto zapisać zadanie za pomocą równania.

Równania z niewiadomą x zapisujemy w postaci L(x) = P(x), gdzie L(x), P(x) są wyrażeniami z niewiadomą x. Nierówności są podobne, tylko zamiast znaku równości = między lewą i prawą stroną występuje jeden ze znaków nierówności: \lt, \leq, \gt, \geq.