Działania na liczbach

Liczby stanowią fundament matematyki. W dobrym zrozumieniu liczb pomogą ci ćwiczenia z następujących tematów:

• Liczenie do 20 – rozpoznawanie liczb i liczenie przedstawionych na obrazkach elementów, kolejność liczb
• Oś liczbowa do 20 – zaznaczanie liczb na osi liczbowej, co pomaga lepiej zrozumieć ich kolejność i wartość
• Liczenie do 100 – liczenie przedstawionych na obrazkach elementów i zapisywanie odpowiadających im liczb w zakresie do 100
• Liczby i cyfry – poznanie różnicy między liczbą a cyfrą, np. tego, że liczba 25 składa się z cyfr 2 i 5
• Cyfry rzymskie – poznawanie i stosowanie cyfr rzymskich (I, V, X, L, C, D, M)
• Liczby do 1000: zapis słowny – zapisywanie liczb słownie i zamienianie zapisu słownego na liczby, np. 456 i „czterysta pięćdziesiąt sześć”.
• Duże liczby: zapis słowny – zapisywanie dużych liczb słownie i odczytywanie ich

Oś liczbowa służy do przedstawienia liczb. Liczby zaznaczone są na niej za pomocą punktów. Zaznaczone punkty tworzą coś w stylu przedziałki, na której mogą być podpisane wszystkie punkty lub, dla większej przejrzystości, tylko niektóre. Pozostałe liczby należy znaleźć samemu. Oś liczbową możemy sobie wyobrazić jako spacer. Zaczynamy na linii startu, którą jest liczba zero, i idziemy od jednego punktu do drugiego.

Poniżej znajdziesz prosty przykład osi liczbowej, na której szukamy liczby 7:

Rzymski system zapisu liczb to sposób zapisu liczb za pomocą liter alfabetu łacińskiego. W przeciwieństwie do powszechnie używanego zapisu liczb (cyfry arabskie, system dziesiętny) jest niepozycyjnym zapisem liczbowym. Cyfry rzymskie nie nadają się do obliczeń matematycznych, na przykład mnożenie w tym zapisie jest o wiele trudniejsze niż w systemie dziesiętnym. Jednak warto je znać, ponieważ w codziennym życiu spotykamy się z nimi dosyć często. Możemy je znaleźć np. na tarczach zegarów, na pomnikach (rok) czy w książkach (numeracja rozdziałów). W Polsce używamy ich również do zapisu stuleci (np. teraz mamy XXI wiek).

Podstawowymi liczbami rzymskimi są I, V, X, L, C, D, M. Ich wartości są następujące:

Pozostałe liczby tworzymy, zestawiając ze sobą powyższe znaki, poczynając od największego do najmniejszego. W celu skrócenia zapisu stosuje się odejmowanie, w którym mniejszy znak poprzedza większy. Przykłady:

Zaokrąglanie polega na tym, że weźmiemy liczbę i zamienimy ją na inną liczbę o podobnej wartości, ale “pełnej”. Na przykład liczbę 96 możemy zaokrąglić do liczby 100. Zaokrąglanie pozwala nam oszacować wynik działania i ułatwia komunikację w życiu codziennym.

Zaokrąglanie do dziesiątek polega na tym, że liczbę zamienimy na najbliższą wielokrotność liczby dziesięć. W przypadku liczby 37 najbliższą wielokrotnością liczby dziesięć jest 40 (ma odległość 3). W przypadku liczb kończących się cyfrą 5, odległość od najbliższej mniejszej i większej wielokrotności liczby dziesięć jest taka sama. Przyjęto zatem zasadę, że w tym przypadku zaokrąglamy w górę, czyli liczbę 35 zaokrąglamy do 40. Zaokrąglanie do setek wykonujemy w podobny sposób, z tą różnicą, że liczbę zamieniamy na najbliższą wielokrotność liczby sto.

Zaokrąglanie dużych liczb, także do wyższych rzędów niż dziesiątki i setki, wykonujemy podobnie jak zaokrąglanie mniejszych liczb. Zaokrąglając liczbę do określonego rzędu, kierujemy się cyfrą znajdującą się na miejscu o jeden rząd niższym.

Przy zaokrąglaniu do tysięcy sprawdzamy, czy cyfra setek jest mniejsza od 5 (wtedy zaokrąglamy w dół), czy większa lub równa 5 (wtedy zaokrąglamy w górę). Przy zaokrąglaniu do dziesiątek tysięcy decyduje cyfra tysięcy itd.

Możemy również zaokrąglać mniejsze liczby do wyższych rzędów. Na przykład, zaokrąglając liczbę 64 do dziesiątek tysięcy, sprawdzamy cyfrę tysięcy. Jest nią 0, czyli cyfra mniejsza od 5, dlatego 64 zaokrąglone do dziesiątek tysięcy wynosi 0.

Dodawanie i odejmowanie to podstawowe działania matematyczne, które stanowią fundament dla dalszych umiejętności rachunkowych. Naukę dodawania i odejmowania zaczynamy od operowania na małych liczbach, co pozwala nam zrozumieć istotę tych działań (na przykład za pomocą rozkładów graficznych) i rozwijać umiejętność liczenia w pamięci:

• Dodawanie i odejmowanie do 10
• Dodawanie i odejmowanie do 20
• Dodawanie i odejmowanie od 20 do 100

Temat dodawanie i odejmowanie powyżej 100 obejmuje już większe liczby i skupia się nie tylko na liczeniu w pamięci, ale również na dodawaniu i odejmowaniu pisemnym („pod kreską”).

Temat dodawanie, odejmowanie i logiczne myślenie zawiera różne interesujące zadania logiczne, w których potrzebna jest nie tylko biegłość w dodawaniu i odejmowaniu, ale także umiejętność wymyślenia właściwego sposobu rozwiązania.

Aby dodać pisemnie dwie liczby, należy pamiętać o następujących zasadach:

• Zapisujemy liczby jedna pod drugą, wyrównując do prawej strony.
• Zaczynamy od prawej strony i przesuwamy się w lewo.
• Zawsze dodajemy do siebie cyfry znajdujące się w jednym słupku, a wynik zapisujemy pod kreską.
• Jeżeli suma jest większa od 9, zapisujemy tylko cyfrę jedności. Cyfrę dziesiątek przenosimy w lewo – dodajemy ją w kolejnym słupku.

Mnożenie mówi nam, z ilu kostek składa się tabliczka czekolady, jeżeli wiemy, ile jest rzędów i kolumn:

Z mnożeniem spotykamy się nie tylko na lekcjach matematyki, ale również w życiu codziennym. Dlatego warto nauczyć się tabliczki mnożenia na pamięć. Tabliczka mnożenia w zakresie do 100 obejmuje iloczyny liczb od 1 do 10:

Mam 8 jabłek, które chcę rozdzielić po równo do 4 koszyczków. Ile jabłek będzie w każdym z koszyczków? W matematyce takie pytanie oznacza dzielenie:

Aby pomnożyć pisemnie dwie liczby, postępujemy w następujący sposób:

• Zapisujemy liczby jedna pod drugą, wyrównując do prawej strony.
• Wymnażamy górną liczbę przez wszystkie cyfry spodniej liczby, zaczynając od cyfry jedności.
• Otrzymane iloczyny zapisujemy jeden pod drugim, wyrównując do słupka, w którym znajduje się cyfra, przez którą mnożyliśmy.
• Na końcu sumujemy otrzymane iloczyny (zob. dodawanie pisemne).

Poniższy przykład ilustruje mnożenie liczby 79 przez liczbę 68.

Działania wykonujemy w następującej kolejności:

1. nawiasy,
2. mnożenie i dzielenie,
3. dodawanie i odejmowanie.

Jeśli w wyrażeniu występują działania o tym samym priorytecie, wykonujemy je od lewej do prawej. Jeśli w wyrażeniu występują nawiasy wewnętrzne i zewnętrzne, zaczynamy od nawiasów wewnętrznych, a następnie przechodzimy do zewnętrznych.

Przykłady

Liczby dodatnie oznaczają ilość, liczbę lub wzrost (np. liczbę jabłek lub wpływy), natomiast liczby ujemne oznaczają brak lub spadek (np. zjedzone jabłka lub wydatki).

Ćwiczenia na liczby dodatnie i ujemne podzielone są na kilka podtematów:

• Porównywanie liczb dodatnich i ujemnych – np. -2 < 3 lub 5 > -1
• Oś liczbowa: liczby dodatnie i ujemne – umiejętność zaznaczenia liczb dodatnich i ujemnych na osi liczbowej pomaga w rozwiązywaniu innych zadań
• Działania na liczbach ujemnych – n[. -3 + 5 = 2 lub 4 - (-6) = 10
• Wyrażenia z wartością bezwzględną – przykłady zadań z wartością bezwzględną, która określa odległość liczby od zera, np. |-4| = 4

Oś liczbowa to prosta służąca do przedstawienia liczb. Zaznaczamy na niej punkty odpowiadające wybranym wartościom liczbowym – najczęściej liczbom całkowitym. Zazwyczaj podpisane są tylko niektóre punkty, aby całość była bardziej przejrzysta. Pozostałe liczby możemy znaleźć sami.

Liczby na osi liczbowej rosną od lewej do prawej. Oznacza to, że liczby ujemne leżą po lewej stronie od zera. Poniżej znajdziesz przykład osi liczbowej, na której zaznaczono wartości 7 i -7:

Wykonując działania na liczbach ujemnych, często stosujemy zasadę „dwa minusy dają plus“. Przyjrzyjmy się konkretnym przykładom:

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera. Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy za pomocą pionowych kresek: |x|.

Przykłady:

• |5| = 5
• |-5| = 5
• |-13| = 13
• |2{,}45| = 2{,}45

Dla dodatnich x=|x|, dla ujemnych -x=|x|.

Obliczając wartość wyrażenia, w którym wstępuje wartość bezwzględna, najpierw obliczamy wartość wyrazu zapisanego w pionowych kreskach (podobnie jak w przypadku nawiasów), a później opuszczamy wartość bezwzględną:

• 3 + |4-6| = 3 + |-2| = 3+2=5
• 5-3 \cdot |4-2| = 5 -3\cdot|2| = 5 -3\cdot2 = 5 - 6 = -1

Należy pamiętać o różnicy pomiędzy nawiasem zwykłym (który oznacza pierwszeństwo działań) a pionowymi kreskami (które oznaczają wartość absolutną):

• 3+(-2) = 3 - 2 = 1
• 3+|-2| = 3 + 2 = 5

Zwracamy uwagę również na to, gdzie występują znaki minus (przed czy za pionową kreską):

• |-4| = 4
• -|4| = -4
• |-3-2| = |-5| = 5
• -|3-2| = -|1| = -1

Liczby parzyste to takie liczby całkowite, które są podzielne przez dwa bez reszty. Liczby parzyste kończą się cyfrą 0, 2, 4, 6 lub 8. Liczbami parzystymi są na przykład 138, 12, 0, 9356, -34, 6.

Liczby nieparzyste to takie liczby całkowite, których nie można podzielić przez dwa bez reszty (resztą z dzielenia jest jeden). Liczby nieparzyste kończą się cyfrą 1, 3, 5, 7 lub 9. Liczbami nieparzystymi są na przykład 15, 891, -7, 1, 95.

Liczba a jest podzielna przez liczbę b, jeżeli dzieląc liczbę a przez liczbę b otrzymamy wynik całkowity, innymi słowy reszta z dzielenia liczby a przez liczbę b wynosi 0. Na przykład:

• Liczba 15 jest podzielna przez 5, ponieważ 15 = 3\cdot 5.
• Liczba 25 nie jest podzielna przez 4, ponieważ 25 = 6\cdot 4 + 1 (reszta jeden).

Znając tzw. cechy podzielności, możemy stwierdzić, czy liczba jest podzielna przez dany dzielnik, bez konieczności wykonywania działania.

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która jest podzielna wyłącznie przez jeden oraz przez samą siebie.

Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która nie jest liczbą pierwszą, tzn. ma więcej dzielników niż tylko jeden i ona sama.

Zgodnie z powyższą definicją liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą ani liczbą złożoną. Jest to powszechnie przyjęta konwencja matematyczna, dzięki której można bardziej elegancko formułować różne wyniki matematyczne. Ale istnieją też inne podejścia do jedynki jako liczby pierwszej (głównie historyczne).

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Liczby pierwsze mniejsze od 100 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Każdą liczbę można rozłożyć na czynniki pierwsze.

Największy wspólny dzielnik (NWD) dwóch liczb całkowitych to największa liczba, przez którą można podzielić te liczby bez reszty, np. NWD(18, 24) = 6, NWD(12, 21) = 3, NWD(24, 35) = 1.
Największy wspólny dzielnik możemy wyznaczyć również dla kilku liczb, np. NWD(30, 85, 90) = 5.
Największy wspólny dzielnik wykorzystujemy podczas skracania ułamków zwykłych.

• Jeżeli największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb jest 1, takie liczby nazywamy liczbami względnie pierwszymi. Do takich liczb zaliczamy np. 15 i 32.

W przypadku małych liczb najlepszym sposobem na znalezienie największego wspólnego dzielnika jest wypisanie wszystkich dzielników tych liczb.

Największy wspólny dzielnik możemy również znaleźć za pomocą rozkładu liczb na czynniki pierwsze. Obydwie liczby zapisujemy w postaci iloczynu liczb pierwszych. NWD to iloczyn wszystkich czynników powtarzających się w obu rozkładach.

NWD można obliczać również za pomocą innych metod, do najbardziej znanych należą algorytmy Euklidesa.

Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW) dwóch liczb całkowitych to najmniejsza liczba, która jest wielokrotnością jednej i drugiej liczby. Na przykład: NWW(12, 15) = 60, NWW(6, 8) = 24, NSN(3, 15) = 15. Największą wspólną wielokrotność możemy wyznaczyć również dla kilku liczb. Na przykład NSN(2, 3, 4) = 12. Z wyznaczaniem najmniejszej wspólnej wielokrotności mamy do czynienia np. podczas sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika w dodawaniu ułamków zwykłych.

W przypadku małych liczb najlepszym sposobem na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności jest wypisanie kilku pierwszych wielokrotności obu liczb.

W przypadku większych liczb największą wspólną wielokrotność możemy wyznaczyć za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze. NWW jest równa iloczynowi wszystkich liczb pierwszych, które występują przynajmniej w jednym rozkładzie (w największej potędze).

Najmniejszą wspólną wielokrotność można również wyznaczyć za pomocą największego wspólnego dzielnika (NWD): \mathit{NWW}(a, b) = \frac{a\cdot b}{\mathit{NSD}(a, b)}

Potęgowanie jest wielokrotnym mnożeniem. Na przykład 3^5 = 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 243. Pierwiastkowanie jest działaniem odwrotnym do potęgowania. Na przykład pierwiastek kwadratowy z 36 wynosi 6 (\sqrt{36}=6), ponieważ 6^2 = 6\cdot 6 = 36.

W pierwszej kolejności warto dokładnie przećwiczyć podstawowe potęgi i pierwiastki, a nawet nauczyć się ich na pamięć, ponieważ będą pojawiać się na lekcjach matematyki przy okazji omawiania wielu innych zagadnień, na przykład przy wykonywaniu działań na wielomianach, rozwiązywaniu równań kwadratowych, obliczaniu pola powierzchni i objętości lub wyznaczaniu długości boków w trójkącie.

Kolejnym krokiem będą wyrażenia z potęgami i pierwiastkami.

Potęgowanie możemy również zdefiniować dla wykładnika ujemnego. Taką metodę potęgowania stosuje się w notacji naukowej, która pozwala na pracę zarówno z bardzo dużymi, jak i bardzo małymi liczbami. Dlatego jest ona chętnie stosowana w fizyce.

Potęgowanie i pierwiastkowanie możemy również stosować w odniesieniu do ułamków zwykłych i dziesiętnych.

Potęgi są skróconym zapisem wielokrotnego mnożenia elementu przez siebie. Przykłady:

• 3^2 = 3\cdot 3 = 9
• 2^3 = 2\cdot 2 \cdot 2= 8
• 5^4 = 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 625

Potęgując liczby ujemne, kierujemy się zasadą, że potęga parzysta daje wynik dodatni, a potęga nieparzysta wynik ujemny.

• (-3)^2 = (-3)\cdot (-3) = 9
• (-3)^3 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = -27
• (-3)^4 = (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3) = 81

Każda liczba rzeczywista różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje liczbę jeden (np. 5^0=1, 564^0=1). Zero podniesione do każdej potęgi równa się zero. (np. 0^3 = 0\cdot 0\cdot 0 = 0). I tu powstaje interesujące pytanie: Ile się równa 0^0?

Pierwiastkowanie w matematyce jest częściowo działaniem odwrotnym do potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z liczby x to taka nieujemna liczba a, dla której a^2 = x. Pierwiastek kwadratowy oznaczamy symbolem \sqrt{x}.

Ogólnie pierwiastek n-tego stopnia z liczby x to taka liczba a, dla której zachodzi a^n = x. Pierwiastek n-tego stopnia oznaczamy symbolem \sqrt[n]{x}.

Pierwiastkowanie ma również znaczenie geometryczne. Jeśli mamy kwadrat o polu P, to długość jego boku jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z \sqrt{P}. Jeśli mamy sześcian o objętości V, to długość jego krawędzi jest równa pierwiastkowi sześciennemu z \sqrt[3]{V}. Pierwiastki często wykorzystujemy na przykład podczas stosowania twierdzenia Pitagorasa.

Wykres funkcji pierwiastkowej

Pierwiastki a liczby ujemne

Kiedy szukamy pierwiastka z 25, szukamy liczby, która podniesiona do kwadratu daje 25. Warunek ten spełnia zarówno 5\cdot 5, jak i (-5)\cdot (-5). Pierwiastek jest jednak z definicji liczbą nieujemną, dlatego \sqrt{25}=5.

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać tylko z liczb nieujemnych, ponieważ kwadrat każdej liczby jest nieujemny. Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej nie jest zdefiniowany w zbiorze liczb rzeczywistych. Można jednak zdefiniować takie pierwiastki, wprowadzając liczby zespolone. Jest to bardzo ciekawe i przydatne zagadnienie, ale nie będziemy go tutaj omawiać.

W przypadku liczb rzeczywistych możemy obliczać pierwiastki z liczb ujemnych, jeśli stopień pierwiastka (n) jest nieparzysty.

Najważniejsze wzory działań na potęgach:

• x^0 = 1
• x^a \cdot x^b = x^{a+b}
• x^a : x^b = x^{a-b}
• (x^a)^b = x^{a\cdot b}
• (x\cdot y)^a = x^a\cdot y^a

Konkretne przykłady zastosowania:

• 7^3\cdot 7^2 = (7\cdot 7\cdot7) \cdot (7\cdot 7) = 7^{3+2} = 7^5
• 6^4: 6^2 = (6\cdot 6\cdot 6\cdot 6) : (6\cdot 6) = 6^{4-2} = 6^2
• (5^3)^2 = (5\cdot 5\cdot 5)^2 = (5\cdot 5\cdot 5) \cdot (5\cdot 5\cdot 5) = 5^{3\cdot 2} = 5^6
• (7\cdot 8)^3 = (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) \cdot (7\cdot 8) = (7\cdot 7\cdot 7) \cdot (8\cdot 8\cdot 8) = 7^3 \cdot 8^3

Najważniejsze wzory do działań na pierwiastkach (zakładamy, że x, y > 0):

• \sqrt{0} = 0
• \sqrt{1} = 1
• \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x
• \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y}
• \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}
• \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}}
• \sqrt[n]{\sqrt[m]{x}} = \sqrt[n\cdot m]{x}

Przykłady:

• \sqrt{24} = \sqrt{4\cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}
• \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3
• \sqrt[3]{5^6} = 5^\frac63 = 5^2 = 25

Potęga o wykładniku ujemnym jest równa odwrotności odpowiedniej potęgi o wykładniku dodatnim. Oznacza to, że: x^{-n} = \frac{1}{x^n}. Reguła ta wynika z własności mnożenia potęg: x^n\cdot x^m = x^{n+m}. Musi więc zachodzić: x^{-n} \cdot x^n = x^{-n+n} = x^0 = 1.

Przykłady:

• 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0,5
• 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25
• 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = 0,01
• 0,5^{-1} = 2^1 = 2

Notacja naukowa liczb to sposób zapisywania liczb w postaci iloczynu m\cdot 10^n, gdzie m jest liczbą rzeczywistą (mantysą), a 10^n jest potęgą liczby 10. Taki sposób zapisywania jest szczególnie przydatny podczas pracy z bardzo dużymi lub bardzo małymi liczbami. Na przykład masa Ziemi wynosi około 5 970 000 000 000 000 000 000 000 kg, co znacznie przejrzyściej można zapisać w postaci 5{,}97\cdot 10^{24} kg. Przykłady:

Potęgowanie i pierwiastkowanie ułamków zwykłych

Aby podnieść ułamek zwykły do potęgi, musimy podnieść do zadanej potęgi licznik i mianownik. I odwrotnie, aby wyciągnąć pierwiastek z ułamka zwykłego, musimy wyciągnąć zadany pierwiastek z licznika i mianownika:

• \large(\frac{2}{3}\large)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}

• \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}

• \large(\frac{4}{5}\large)^{-1} = \frac{4^{-1}}{5^{-1}} = \frac{5}{4} (w przypadku, gdy podnosimy ułamek do potęgi -1, musimy go odwrócić)

Potęgi o wykładniku ułamkowym

W przypadku, gdy mamy potęgę o wykładniku ułamkowym, licznik ułamka zapiszemy w pierwiastku, a mianownik ułamka w potędze, czyli x^\frac{a}{b} = \sqrt[b]{x^a}. Na przykład:

• 2^\frac{2}{3} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4} = 1{,}587\ldots

• 4^\frac{1}{2} = \sqrt{4^1} = 2

• 81^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{81^3} = \sqrt[4]{81}^3 = 3^3 = 27

Definicja i zastosowanie logarytmu

Logarytm jest operacją odwrotną do potęgowania. Logarytmem dodatniej liczb x przy podstawie a nazywamy taką liczbę rzeczywistą y = \log_a(x), dla której zachodzi a^y = x. Liczbę a nazywamy podstawą logarytmu (bazą). Ćwiczenia z podstawowej definicji znajdziesz w temacie Logarytm: obliczenia.

Logarytm o podstawie e=2{,}71 828 182... (liczba Eulera) nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy zazwyczaj jako \ln. Logarytm o podstawie 10 nazywamy logarytmem dziesiętnym (oznaczamy \log, w tekstach obcojęzycznych spotyka się również zapis \lg).

Logarytmy mają bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki. Historycznie były wykorzystywane jako użyteczne narzędzie obliczeniowe („linijka logarytmiczna”), które opierało się na fakcie, że logarytm iloczynu jest sumą logarytmów.

Obecnie z logarytmami często spotykamy się na przykład w informatyce przy projektowaniu i analizie algorytmów.

Własności logarytmów

Podczas pracy z logarytmami, na przykład rozwiązując ćwiczenia z tematu Wyrażenia z logarytmami, często korzystamy z następujących własności logarytmów:

• Logarytm jest określony tylko dla liczb dodatnich.
• Logarytm o podstawie 1 nie jest określony.
• Logarytm z jedynki jest równy zeru: \log_a(1)=0.
• ogarytm liczby równej podstawie jest równy 1: \log_a{a}=1.
• Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów: \log_a(x\cdot y)=\log_a{x}+\log_a{y}.
• Logarytm ilorazu jest różnicą logarytmów: \log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a{x}-\log_a{y}.
• Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej o tej samej podstawie: \log_a{x}=y \Leftrightarrow a^y=x.
• Logarytm potęgi jest iloczynem wykładnika i logarytmu liczby: \log_a(x^n)=n\log_a{x}.

Wykres logarytmu

Na wykresie przedstawiono logarytm o podstawie 2:

Wykresy logarytmów zostały bardziej szczegółowo opisane w temacie Wykresy funkcji logarytmicznych.

Oś liczbowa to prosta służąca do graficznego przedstawienia liczb. Zaznaczamy na niej punkty odpowiadające wybranym wartościom liczbowym – najczęściej liczbom całkowitym. Zaznaczone punkty tworzą coś w stylu przedziałki, na której mogą być podpisane wszystkie punkty lub, dla większej przejrzystości, tylko niektóre. Poniżej znajdziesz prosty przykład osi liczbowej, na której szukamy liczby 7:

Na podstawowej osi liczbowej zaznaczone punkty rosną o jeden. Ale nie zawsze musi tak być. Za każdym razem, zanim zaczniemy korzystać z osi liczbowej, musimy ustalić, ile wynosi odstęp pomiędzy punktami. W poniższym przykładzie odstęp wynosi 10:

Ułamek zwykły możemy zaznaczyć na osi liczbowej, zamieniając go najpierw na ułamek dziesiętny (w tym celu dzielimy licznik przez mianownik), a następnie postępując tak samo jak w przypadku ułamków dziesiętnych. Na przykład \frac{6}{5} = 1{,}2, czyli ułamek \frac{6}{5} znajduje się o dwie dziesiąte za jedynką. Inne przykłady:

Ułamki mniejsze od 1 możemy zaznaczać na osi liczbowej bez zamiany na liczbę dziesiętną, korzystając z wyobrażenia „części całości“. Jeśli chcemy zaznaczyć ułamek \frac{3}{7}, wyobrażamy sobie, że dzielimy odcinek od 0 po 1 na siedem równych części. Następnie zaznaczamy trzecią z tych części – to właśnie ułamek \frac{3}{7}.

Warto wyrobić sobie dobrą intuicję szczególnie dla ułamków o małym mianowniku:

Podobnie jak w przypadku innych osi liczbowych, w pierwszej kolejności należy ustalić, jakie są odstępy pomiędzy punktami na osi liczbowej. W przypadku zadań z liczbami dziesiętnymi odstęp zazwyczaj wynosi 0,1 (jedną dziesiątą), ale może być też inny.

Na przykład: