Geometria

Rzutowanie służy do przedstawienia obiektu trójwymiarowego na płaszczyźnie, czyli na rysunku dwuwymiarowym. Wyróżniamy trzy rodzaje rzutów: z przodu, z boku i z góry. Każdy z nich przedstawia widok obiektu z innego kierunku.

Rzut z przodu (inaczej rzut pionowy lub główny) przedstawia widok bryły od przodu:

Rzut z boku (inaczej boczny) przedstawia widok bryły z boku:

Rzut z góry (inaczej rzut poziomy) przedstawia widok od góry:

W zastosowaniach technicznych najczęściej stosowany jest rzut z góry i rzut z przodu.

Zależność między liczbą wierzchołków w, krawędzi k i ścian s wielościanu wypukłego opisuje twierdzenie Eulera: w - k + s = 2.

Liczby wierzchołków, ścian i krawędzi dla wielościanów foremnych:

Sześcian ma aż 11 różnych siatek:

Siatka bryły to przedstawienie bryły na płaszczyźnie, z którego można złożyć daną bryłę. Przykłady siatek:

Siatkę bryły zazwyczaj można narysować na wiele sposobów. Na przykład sześcian ma aż 11 różnych siatek:

W odróżnieniu od języka codziennego, w którym jedno słowo może mieć dwa lub więcej znaczeń, w matematyce używamy pojęć o ściśle określonym znaczeniu. Dzięki temu możemy wyrażać się krótko, a jednocześnie precyzyjnie. W geometrii stosuje się wiele różnych pojęć.

Figury płaskie są zbiorami punktów na płaszczyźnie. Są to zatem figury dwuwymiarowe. Do najbardziej znanych figur płaskich należą kwadrat, prostokąt, trójkąt, okrąg, koło, równoległobok, trapez, wielokąt foremny lub nieforemny.

W przypadku niektórych figur płaskich możemy łatwo obliczyć ich obwód i pole powierzchni.

Twierdzenie Pitagorasa opisuje zależność pomiędzy długościami boków trójkąta prostokątnego. Brzmi ono: Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. Twierdzenie Pitagorasa możemy zapisać w następujący sposób c^2 = a^2 + b^2, gdzie c to długość przeciwprostokątnej, a a i b to długości przyprostokątnych.

Poniższy rysunek to tzw. graficzny dowód twierdzenia Pitagorasa:

Znajduje on zastosowanie również w odwrotnym kierunku. Jeżeli suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Twierdzenie Pitagorasa ma w geometrii bardzo szerokie zastosowanie, ponieważ wiele figur możemy „rozłożyć” na trójkąty prostokątne.

Typowym przykładem zastosowania twierdzenia Pitagorasa jest obliczanie długości przekątnej kwadratu lub wysokości trójkąta równobocznego.

Przekątna kwadratu o boku a jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość a. Zatem dla długości przekątnej d zachodzi d^2 = a^2 + a^2. Po przekształceniu: u = \sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}. Na przykład kwadrat o boku 10 cm będzie miał przekątną o długości 10\cdot \sqrt{2} \doteq 14,1 cm.

Wysokość w trójkącie równobocznym o boku a jest przyprostokątną trójkąta prostokątnego, którego druga przyprostokątna ma długość \frac{a}{2}, a przeciwprostokątna a. Zatem dla wysokości h zachodzi h^2 + \large(\frac{a}{2}\large)^2 = a^2. Po przekształceniu: h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2^2} = \frac{3}{4}a^2, h = a\frac{\sqrt{3}}{2}. Na przykład w trójkącie równobocznym o boku 5 metrów wysokość wynosi \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 5 \doteq 4,33 m.

Aby obliczyć miarę nieznanego kąta w trójkącie, korzystamy z podstawowej zasady, która mówi, że suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180°.

Szczególne przypadki:

• W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają 60°.
• W trójkącie równoramiennym obydwa kąty przy podstawie są takie same.
• W trójkącie prostokątnym jeden kąt ma 90°, a suma dwu pozostałych kątów również wynosi 90°.

Do obliczenia miary kąta możemy również wykorzystać kąty wierzchołkowe i przyległe.

Przykład: Oblicz miarę kąta zaznaczonego na pomarańczowo.

Kąt przy wierzchołku B tworzy parę kątów wierzchołkowych z kątem o mierze 30°, zatem będzie miał 30°. Z kolei kąt przy wierzchołku A tworzy parę kątów przyległych z kątem o mierze 100°, zatem będzie miał 180°-100°=80°. Obliczamy miarę niewiadomego kąta przy wierzchołku C: 180°-80°-30°=70°

Prostokąt zaliczamy do czworokątów. Jest to równoległobok, którego wszystkie kąty są proste.

Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta o wszystkich bokach tej samej długości.

Obwód kwadratu o boku długości a jest równy o=a+ a+a+a= 4a.

Obwód prostokąta o bokach długości a,b jest równy o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Szczególne przypadki równoległoboku:

• Romb ma wszystkie boki tej samej długości.
• Prostokąt ma wszystkie kąty wewnętrzne proste.
• Kwadrat ma wszystkie kąty wewnętrzne proste i wszystkie boki tej samej długości.

Konstrukcje równoległoboków

Równoległobok jest szczególnym przypadkiem czworokąta, który posiada dwie pary boków równoległych. Przy rozwiązywaniu zadań konstrukcyjnych korzystamy z następujących własności równoległoboków:

• Przeciwległe boki są równoległe.
• Dwa przeciwległe boki są zawsze tej samej długości.
• Przekątne równoległoboku nie są tej samej długości, ale dzielą się na połowy i przecinają się w środku figury.
• Przeciwległe kąty mają taką samą miarę.
• Suma miar kątów leżących przy jednym boku wynosi 180°.

Do skonstruowania równoległoboku potrzebujemy trzech danych, z których często możemy na podstawie cech BBB, BKB, KBK najpierw zbudować trójkąt o wierzchołkach leżących w trzech wierzchołkach równoległoboku. Ostatni wierzchołek równoległoboku możemy następnie wyznaczyć, korzystając z równoległości boków lub równości przeciwległych boków.

Konstrukcje rombów

Romb jest szczególnym przypadkiem równoległoboku, w którym wszystkie boki są takiej samej długości. Jego przekątne mają dodatkowo dwie specjalne właściwości: są prostopadłe do siebie i dzielą kąty wewnętrzne na pół. Podobnie jak kwadrat, romb można wpisać w okrąg.

Obwód równoległoboku o bokach a,b jest równy o=a + b + a + b = 2\cdot (a+b).

Trapez to czworokąt mający (przynajmniej) jedną parę boków równoległych. Boki równoległe nazywamy podstawami, a pozostałe ramionami.

Trapez prostokątny to trapez mający dwa kąty proste (podstawy trapezu są równoległe, zatem jeżeli kąt między ramieniem a jedną podstawą jest prosty, to kąt między tym ramieniem a drugą podstawą też musi być prosty).

Trapez równoramienny to trapez mający ramiona tej samej długości.

Obwód trapezu jest sumą długości jego boków. Czyli obwód trapezu ABCD o bokach a,b,c,d obliczamy według wzoru o=a+b+c+d.

Okrąg o środku S i promieniu r to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie oddalonych od środka dokładnie o r. Dla każdego punktu na płaszczyźnie możemy określić jego położenie:

• na okręgu (odległość od S jest równa r)
• poza okręgiem, po jego wewnętrznej stronie (odległość od S jest mniejsza niż r)
• poza okręgiem, po jego zewnętrznej stronie (odległość od S jest większa niż r)

Koło o środku S i promieniu r to zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, których odległość od środka jest mniejsza lub równa r. Innymi słowy, koło o środku S i promieniu r to okrąg o środku S i promieniu r wraz z płaszczyzną ograniczoną przez ten okrąg. Środek S koła jest częścią koła, zaś środek S okręgu leży poza nim.

Wzór na obwód koła

Obwód koła (i okręgu) o promieniu r wynosi o=2 \pi r . Dla średnicy d jest to o = \pi d.

Liczba \pi, zwana też ludolfiną i stałą Archimedesa, jest liczbą niewymierną. Oznacza, że nie można jej zapisać w postaci ułamka zwykłego, a jej rozwinięcie jest nieskończone. Przybliżona wartość liczby \pi wynosi 3,141 592 65.

Obliczając obwód koła, musimy zwrócić szczególną uwagę na to, czy znamy promień r czy średnicę d = 2r. Zamiana promienia i średnicy jest bardzo częstym błędem.

Intuicja

W lepszym zrozumieniu wzoru na obwód koła może pomóc nam poniższy rysunek. Obwód pomarańczowego kwadratu wynosi 8\cdot r. Obwód koła jest „trochę mniejszy“ – czyli wynosi 2\pi \cdot r \approx 6{,}3 \cdot r.

Wzór na pole koła

Pole koła o promieniu r wynosi P=\pi r^2. Dla średnicy d jest to P = \frac{1}{4} \pi d^2. Liczba \pi, zwana też ludolfiną i stałą Archimedesa, jest liczbą niewymierną. Oznacza to, że nie można jej zapisać za pomocą ułamka zwykłego, a jej rozwinięcie jest nieskończone. Przybliżona wartość \pi wynosi 3,141 592 65.

Obliczając pole koła, należy uważać, żeby nie zamienić promienia ze średnicą i odwrotnie.

Intuicja

W lepszym zrozumieniu wzoru na pole koła może pomóc nam poniższy rysunek. Żółte kwadraty mają pole r^2. Pomarańczowy kwadrat składa się z czterech żółtych kwadratów, czyli jego pole wynosi 4\cdot r^2. Pole koła jest „trochę mniejsze“ od pola pomarańczowego kwadratu, czyli wynosi w przybliżeniu 3{,}14 \cdot r^2.

Przykłady

• Mamy koło o promieniu 3 cm. Jego pole wynosi \pi \cdot 3^2 \approx 3{,}14\cdot 9 \approx 28,3 cm².
• Mamy okrąg o średnicy 2 cm. Ogranicza on powierzchnię o polu \frac{1}{4} \pi \cdot 2^2 = \pi \approx 3,14 cm².
• Środkowe koło na boisku piłkarskim ma promień 9{,}1 m. Jeżeli chcielibyśmy pomalować trawę rosnącą w środku koła na różowo, musielibyśmy pomalować \pi \cdot 9{,}1^2 \approx 260 m² trawy.

Kąt środkowy

• Kąt, którego wierzchołek leży w środku S okręgu i którego ramiona przecinają okrąg w punktach A, B. Mówimy, że kąt środkowy jest oparty na łuku AB.
• Dla dwóch dowolnych punktów na okręgu można wyznaczyć dwa kąty środkowe. Dzieje się tak dlatego, że dwa dowolne punkty dzielą okrąg na dwa łuki.

Kąt wpisany w okrąg

• Kąt, którego wierzchołek V leży na okręgu i którego ramiona przecinają okrąg w punktach A, B (A \neq V \neq B).
• Wszystkie kąty wpisane, które obejmują łuk AB i których wierzchołek V nie leży na łuku, mają taką samą miarę.
• Miara kąta środkowego \omega jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego \varphi obejmującego ten sam łuk, \omega = 2\cdot\varphi.
• Twierdzenia Talesa: Kąt wpisany nad średnicą okręgu jest kątem prostym.

Kąt dopisany do okręgu

• Kąt między cięciwą AB okręgu i styczną t do tego okręgu w punkcie A lub B.
• Miara kąta dopisanego jest równa mierze kąta wpisanego nad łukiem AB.

Długość łuku

Długość łuku, który na okręgu o promieniu r wyznaczony jest przez kąt środkowy \alpha, obliczamy jako: \frac{\alpha}{360^{\circ}} \cdot 2 \pi \cdot r

Przykłady

• Długość łuku przedstawionego na rysunku wynosi: \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{1}{4} \cdot 6 \pi = \frac{3}{2}\pi

• Długość całego okręgu (czyli dla całych 360^{\circ}) wynosi: \frac{360^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 2\pi \cdot r = 2\pi \cdot r

Figury przestrzenne, zwane też bryłami, są zbiorami punktów w przestrzeni. Są to zatem figury trójwymiarowe. Do najbardziej znanych figur przestrzennych należą sześcian, prostopadłościan, ostrosłup, kula, graniastosłup, walec, stożek.

W przypadku niektórych figur przestrzennych możemy łatwo obliczyć ich objętość i pole.

Sześcian i prostopadłościan są bryłami należącymi do wielościanów, a dokładniej są szczególnymi przypadkami graniastosłupów.

Sześcian to bryła, która ma sześć ścian w kształcie kwadratów. Wszystkie krawędzie sześcianu mają taką samą długość, a wszystkie jego kąty są proste, czyli mają miarę 90°.

Przykładami sześcianów spotykanych w życiu codziennym są kostki cukru lub kostka Rubika.

Objętość sześcianu obliczamy za pomocą wzoru V = a^3, gdzie a jest długością krawędzi sześcianu.

Pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi a obliczamy za pomocą wzoru P = 6a^2.

Prostopadłościan jest bryłą, której wszystkie ściany są prostokątami. Ma trzy wymiary: długość, szerokość i wysokość, które mogą być różne. Jeśli wszystkie trzy wymiary są równe, prostopadłościan jest sześcianem.

Przykładami prostopadłościanów spotykanych w życiu codziennym są pudełka, książki lub cegły.

Objętość prostopadłościanu obliczamy za pomocą wzoru V = a \cdot b \cdot c, gdzie a,b,c to jego wymiary (czyli długość, szerokość i wysokość).

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu obliczamy jako sumę pól wszystkich jego sześciu ścian: P= 2(ab + bc + ac). Przeciwległe ściany są parami przystające, czyli mają takie same pola.

Kula to bryła, czyli przestrzenna figura geometryczna, która powstała przez obrót koła wokół jego średnicy. Wszystkie punkty na powierzchni kuli znajdują się w takiej samej odległości od środka. Odległość ta nazywana jest promieniem kuli. Kula jest symetryczna we wszystkich kierunkach, co oznacza, że ​​niezależnie od tego, jak ją obrócimy, jej kształt pozostaje ten sam.

Z kulą możemy spotkać się w życiu codziennym, np. piłka do koszykówki, globus lub kulka łożyskowa.

Do obliczenia objętości kuli służy wzór V = \frac{4}{3} \pi r^3, gdzie r to promień kuli.

Pole powierzchni całkowitej kuli obliczamy za pomocą wzoru P = 4 \pi r^2, gdzie r to również promień kuli.

Kula nie ma rogów ani krawędzi, co odróżnia ją od wielu innych figur geometrycznych. Ta wyjątkowa właściwość sprawia, że ​​kula odgrywa znaczącą rolę w różnych dziedzinach, w tym w fizyce, gdzie wykorzystywana jest m.in. do modelowania ciał idealnych w teorii grawitacji. Przedmiotem badań geometrii nieeuklidesowej mogą być z kolei bryły niebędące częścią płaszczyzny, lecz powierzchni kulistej (wtedy jest to geometria sferyczna, czyli geometria na sferze).

Pole powierzchni kuli o promieniu r obliczamy za pomocą wzoru: P=4 \pi \cdot r^2

Obwód oznaczamy symbolem o. Obwód to suma długości wszystkich boków figury. W zrozumieniu, czym jest obwód, pomoże nam temat długość i obwód na kratce. Obwód mierzymy w jednostkach długości (np. centymetrach, metrach).

Pole powierzchni oznaczamy symbolem P. Pole powierzchni oznacza, ile „miejsca na powierzchni“ zajmuje figura. W zrozumieniu, czym jest obwód, pomoże nam temat pole powierzchni na kratce. Pole powierzchni mierzymy w jednostkach pola powierzchni (np. metrach kwadratowych, hektarach).

Aby obliczyć obwód trójkąta, należy dodać do siebie wszystkie długości boków: o=a+b+c

Przykład:

Trójkąt przedstawiony na rysunku ma boki długości a=10, b=8, c=14, czyli jego obwód wynosi o=a+b+c=10+8+14=32.

Obwód trójkąta i czworokąta to po prostu suma długości wszystkich boków.

Objętość bryły jest miarą „ilości” miejsca zajmowanego przez bryłę w przestrzeni. Możemy ją sobie wyobrazić jako ilość wody, której potrzebowalibyśmy, gdybyśmy chcieli „napełnić” bryłę. Objętość wyrażamy w jednostkach objętości.

Pole powierzchni całkowitej bryły jest sumą pól wszystkich jej ścian. Możemy je sobie wyobrazić jako wielkość kolorowego papieru, który potrzebujemy do „oklejenia” bryły. Pole powierzchni całkowitej wyrażamy w jednostkach pola powierzchni.

Oznaczenia we wzorach

Wzory

Pole powierzchni całkowitej brył obrotowych obliczamy z zastosowaniem liczby \pi \approx 3{,}14 159 265. We wzorach r oznacza promień (kuli lub podstawy), h wysokość walca, l tworzącą stożka.

• Pole powierzchni kuli wynosi P = 4\pi r^2.
• Pole powierzchni całkowitej walca to suma pól powierzchni dwóch podstaw oraz pola powierzchni bocznej: P_c = 2\cdot \pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r+h).
• Pole powierzchni całkowitej stożka to suma pola powierzchni podstawy oraz pola powierzchni bocznej: P_c = \pi r^2 + \pi rl= \pi r(r+l).

Kąt jest częścią płaszczyzny wyznaczoną przez dwie półproste. Miarę kąta podajemy najczęściej w stopniach, przy czym kąt pełny ma 360°. Kąty wykorzystujemy w wielu dziedzinach geometrii, mają one również praktyczne zastosowanie w fizyce, nawigacji (azymuty) oraz wszędzie tam, gdzie coś budujemy.

Na początek warto nauczyć się szacować miarę kąta, czyli określić jego wartość bez użycia kątomierza. Kolejnym krokiem jest przyswojenie pojęć związanych z kątami, takich jak np. kąt ostry, prosty, rozwarty, wierzchołkowy czy naprzemianległy.

Kiedy już opanujemy powyższe podstawy, możemy przejść do zadań z kątami w figurach geometrycznych:

• Kąty w trójkącie
• Kąty w czworokącie
• Kąty i wielokąty
• Kąty i okrąg

Do bardziej zaawansowanych zagadnień należą radiany, które są alternatywnym sposobem wyrażania miar kątów. Spotykamy się z nimi najczęściej przy okazji omawiania funkcji trygonometrycznych.

Kąt pełny ma 360°. Na rysunku przedstawiono często używane kąty:

Kwadrat, prostokąt

• Wszystkie kąty w kwadracie i prostokącie mają 90°.
• Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem 90°.

Równoległobok

• Przeciwległe kąty są równe.
• Suma miar sąsiadujących kątów wynosi 180°.
• Specjalnym przykładem równoległoboku jest romb, którego przekątne tworzą kąt prosty.

Trapez

• Suma miar kątów wewnętrznych leżących przy tym samym ramieniu wynosi 180°.
• W trapezie równoramiennym kąty leżące przy tej samej podstawie są równe.

Obliczając miarę nieznanego kąta, możemy podzielić dany czworokąt na kilka trójkątów lub skorzystać z kątów wierzchołkowych i przyległych.

Przykład: Wyznacz miarę pomarańczowego kąta w równoległoboku ABCD.

W równoległoboku przeciwległe kąty mają taką samą miarę, czyli kąt ADC ma 115°. Kąt ADC tworzy z nieznanym kątem parę kątów przyległych. Czyli miara nieznanego kąta wynosi 180°-115°=65°.

Suma miar kątów wewnętrznych w wielokącie o n bokach (czyli n-kącie) wynosi 180^\circ\cdot(n-2). Na przykład suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie wynosi 180^\circ(5-2)=540^\circ. Każdy kąt wewnętrzny może mieć inną miarę.

Wielokąty foremne

• Każdy kąt wewnętrzny w wielokącie foremnym o n wierzchołkach ma miarę 180^\circ\cdot\frac{n-2}{n}. Na przykład w ośmiokącie foremnym każdy kąt wewnętrzny ma miarę 180^\circ\cdot\frac{8-2}{6}=135^\circ.
• Miara kąta środkowego w n-kącie foremnym wynosi \frac{360^\circ}{n}. Na przykład w ośmiokącie foremnym każdy kąt środkowy ma miarę \frac{360^\circ}{8}=45^\circ.

Do obliczenia miary nieznanego kąta w wielokącie można skorzystać również z kątów wierzchołkowych i przyległych.

Ponadto do zapisu konstrukcji geometrycznych wykorzystuje się działania na zbiorach, zwłaszcza część wspólną (\cap) oraz sumę zbiorów (\cup).

Działania na płaszczyźnie pozwalają przekształcać figury, zmieniając ich położenie, kierunek lub rozmiar. Wyróżniamy kilka podstawowych przekształceń:

• Symetria osiowa – tworzymy „lustrzane odbicie” figury względem prostej.
• Symetria środkowa – przekształcamy figurę względem punktu.
• Przystawanie – dwie figury są przystające, jeśli „mają taki sam kształt i rozmiar” (mogą różnić się obrotem i położeniem).
• Obrót – obracamy figurę wokół określonego punktu o określony kąt, zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub w kierunku przeciwnym.
• Przesunięcie – przesuwamy figurę o określoną odległość w określonym kierunku.
• Podobieństwo – dwie figury są podobne, jeśli „mają taki sam kształt” (mogą różnić się rozmiarem, obrotem i położeniem).
• Jednokładność – odległości punktów figury od danego punktu zmieniają się w określonym stosunku.

Podtemat Rodzaje przekształceń na płaszczyźnie dotyczy rozróżniania poszczególnych przekształceń.

Na podstawie rozmiaru i położenia figur na płaszczyźnie można określić, czy jedna figura jest obrazem drugiej w wyniku określonego przekształcenia geometrycznego.

Na rysunku przedstawiono obraz trójkąta w wyniku następujących przekształceń:

• symetrii osiowej względem osi o
• symetrii środkowej względem środka S
• przesunięcia wyznaczonego przez wektor \overrightarrow{PQ}
• obrotu o środku S i kącie zorientowanym \alpha
• jednokładności o środku S i współczynniku -2

Symetria osiowa jest określona przez prostą o i przyporządkowuje każdemu punktowi X spoza osi taki punkt X', że prosta o jest osią odcinka XX'. Innymi słowy, obraz ma taką samą odległość od osi jak punkt pierwotny, a odcinek łączący te dwa punkty jest prostopadły do osi. Symetria osiowa zachowuje odległości i kąty, więc jest przekształceniem przystającym.

Przykłady

Niebieskie i pomarańczowe figury są symetryczne względem osi o:

Dla lepszego zrozumienia warto porównać symetrię osiową i środkową.

Figura osiowosymetryczna

Figurę nazywamy osiowosymetryczną, jeśli w pewnej symetrii osiowej jest obrazem samej siebie. Prostą, względem której występuje taka symetria, nazywamy osią figury. Poniższa ilustracja przedstawia przykłady figur osiowosymetrycznych (zielone, z zaznaczonymi osiami symetrii) oraz figur niesymetrycznych (czerwone):

Inne przykłady:

• Odcinek jest osiowosymetryczny i ma jedną oś symetrii w płaszczyźnie (prostą prostopadłą w jego środku).
• Trójkąt równoramienny jest osiowosymetryczny.
• Trójkąt, który nie jest równoramienny, nie jest osiowosymetryczny.
• Wszystkie wielokąty foremne są osiowosymetryczne. Liczba osi symetrii jest równa liczbie wierzchołków.
• Koło jest osiowosymetryczne i ma nieskończenie wiele osi symetrii.

Symetria środkowa jest symetrią względem punktu S. Każdemu punktowi X przyporządkowuje taki punkt X', że punkt S jest środkiem odcinka XX'. Innymi słowy: obraz ma taką samą odległość od środka symetrii jak punkt pierwotny i leży na półprostej przeciwnej do SX.

Symetria środkowa zachowuje odległości i kąty, jest więc rodzajem przystawania. Symetria środkowa o środku w punkcie S jest równoważna obrotowi o 180 stopni względem środka symetrii S.

Przykłady

Niebieskie i pomarańczowe figury są środkowosymetryczne względem punktu S:

W lepszym zrozumieniu pomoże nam porównanie symetrii środkowej i osiowej.

Figura środkowosymetryczna

Figurę nazywamy środkowosymetryczną, jeśli w pewnej symetrii środkowej jest ona obrazem samej siebie. Środek tej symetrii środkowej nazywamy środkiem symetrii obiektu. Poniższy rysunek przedstawia przykłady figur środkowosymetrycznych (zielone, z zaznaczonym środkiem symetrii) oraz figur niesymetrycznych (czerwone).

Inne przykłady:

• Odcinek, prostokąt, kwadrat, romb, sześciokąt foremny oraz okrąg są środkowosymetryczne.

• Żaden trójkąt nie jest środkowosymetryczny.

Dwie figury geometryczne są przystające, jeżeli mają ten sam kształt i wielkość. Na poniższym rysunku figury przystające mają ten sam kolor.

Oznaczanie

Mamy dwie figury, np. dwa trójkąty ABC i GEF.

• \left|AB\right|=\left|GE\right|
• \left|BC\right|=\left|EF\right|
• \left|AC\right|=\left|GF\right|

Powyższe trójkąty mają boki tej samej długości, więc są przystające. Zapiszemy to w następujący sposób ABC \cong GEF. Uważaj na kolejność liter. Jest ona bardzo ważna, ponieważ kolejność liter w nazwie trójkąta wskazuje nam, który z wierzchołków ABC odpowiada danemu wierzchołkowi w trójkącie GEF. \left|AB\right|=\left|GE\right|, ale \left|AB\right|\neq \left|EF\right|, czyli ABC \ncong EFG.

Dwie figury geometryczne są podobne, jeżeli mają taki sam kształt (niezależnie od wielkości). Na poniższym rysunku figury podobne mają ten sam kolor:

Dokładniej rzecz biorąc, figury są podobne, jeżeli możemy przekształcić jedną figurę na drugą, a to poprzez równomierne zmniejszenie lub zwiększenie oraz przesunięcie, obrócenie lub odwrócenie.

Podobieństwo zachowuje miary kątów i stosunek długości.

Stosunek długości odpowiednich odcinków w obu figurach nazywamy skalą podobieństwa.

Obrót (rotacja) jest dany przez punkt S oraz kąt skierowany \alpha. Punkt S nazywamy środkiem obrotu. Pojęcie kąta skierowanego oznacza, że rozróżniamy, czy obrót odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (kierunek dodatni), czy zgodnie z ruchem wskazówek zegara (kierunek ujemny). Obrazem punktu X jest punkt X', jest w tej samej odległości od środka S co punkt X, a kąt XSX' ma miarę \alpha.

Przykłady

Punkt X jest obrócony wokół środka S o 90^\circ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Punkt Y jest obrócony wokół środka S o 90^\circ zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czyli o kąt \alpha=-90^\circ.

Trójkąt ABC jest obrócony wokół środka S o 60^\circ zgodnie z ruchem wskazówek zegara, czyli o kąt \alpha=-60^\circ.

Obrót zachowuje odległości i kąty, dlatego jest przekształceniem przystającym (izometrią).

Geometria analityczna łączy geometrię i algebrę. Pozwala nam przedstawić problemy geometryczne w postaci algebraicznej i rozwiązywać je za pomocą równań.

Najprostszymi obiektami, które można opisać analitycznie, są punkty, odcinki i wektory na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Gdy już potrafimy operować wektorami, możemy użyć ich na przykład do opisu prostej lub płaszczyzny.

W przypadku prostych i płaszczyzn nadal mamy do czynienia z obiektami, które można opisać za pomocą równań liniowych lub układów równań liniowych. Jeśli zajmiemy się również równaniami kwadratowymi, będziemy w stanie opisać krzywe stożkowe na płaszczyźnie, takie jak okrąg, elipsa, parabola czy hiperbola.

Dwa ważne typy problemów, które rozwiązujemy w ramach geometrii analitycznej, to zadania na położenie, w których badamy wzajemne położenie obiektów geometrycznych, oraz zadania na odległość, w których obliczamy konkretną wartość liczbową wyniku, taką jak na przykład odległość między dwoma punktami lub kąt zawarty między dwiema przecinającymi się prostymi.

Rozważając punkty na płaszczyźnie lub w przestrzeni, w których wprowadzono kartezjański układ współrzędnych (na płaszczyźnie z dwiema osiami x,y, a w przestrzeni z trzema osiami x,y,z), możemy opisać punkty za pomocą ich współrzędnych na płaszczyźnie, lub współrzędnych w przestrzeni.

Na tej podstawie możemy obliczać odległość między dwoma punktami „w linii prostej“ – czyli długość odcinka łączącego te punkty na płaszczyźnie lub w przestrzeni.

Układ współrzędnych prostokątnych (układ współrzędnych kartezjańskich na płaszczyźnie) tworzą dwie osie liczbowe x,y, które są do siebie prostopadłe i przecinają się w punkcie [0;0].

Proste x i y to osie współrzędnych, punkt [0;0] to początek układu współrzędnych.

Przykład: Współrzędne punktu A

Punkt A przedstawiony na rysunku w danym układzie współrzędnych określamy za pomocą współrzędnej x=1 i współrzędnej y=2. Położenie punktu A możemy zapisać jako A[1;2].

Kartezjański układ współrzędnych w przestrzeni jest określony przez trzy wzajemnie prostopadłe osie liczbowe x,y,z, które przecinają się w punkcie [0;0;0].

Osie x,y,z nazywamy osiami układu współrzędnych, a punkt [0;0;0] jest początkiem układu współrzędnych.

Przykład: Współrzędne punktu A

Punkt A przedstawiony na rysunku ma w danym układzie współrzędnych współrzędne x=4, y=2, z=3, co możemy zapisać jako A[4;2;3].

Aby obliczyć odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych, musimy znać ich współrzędne.

Jeżeli dane są współrzędne A=[a_x,a_y], B=[b_x,b_y], odległość punktu A od punktu B wynosi:

|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2}

Wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa. Zauważ, że mamy tu trójkąt prostokątny o długości przyprostokątnych (b_x-a_x) i (b_y-a_y), którego przeciwprostokątna ma długość |AB|.

Odległość między dwoma punktami w przestrzeni obliczamy podobnie jak odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie, czyli za pomocą współrzędnych. Jeżeli dane są współrzędne punktów A=[a_x,a_y,a_z], B=[b_x,b_y,b_z], odległość między tymi punktami możemy obliczyć w następujący sposób:

|AB| = \sqrt{(b_x-a_x)^2 + (b_y-a_y)^2 + (b_z-a_z)^2}

W podobny sposób (stosując dwa razy z rzędu twierdzenie Pitagorasa) możemy obliczyć długość przekątnej prostopadłościanu.

Odcinek to część prostej ograniczona dwoma punktami (z tymi puntami włącznie).

Długość odcinka w układzie współrzędnych obliczamy w taki sam sposób jak odległość między punktami w układzie współrzędnych.

Długość odcinka AB, gdzie A[x_A; y_A], B[x_B; y_B], wynosi:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Powyższy wzór wywodzi się z twierdzenia Pitagorasa.

Środek odcinka dzieli odcinek na dwie równe części. Jeżeli końce odcinka AB leżą na osi liczbowej, a ich położeniu odpowiadają wartości a i b, to środku odcinka S odpowiada liczba s=\frac{a+b}{2}. Środek odcinka jest więc „średnią arytmetyczną“ jego końców.

Dla odcinka w układzie współrzędnych sytuacja wygląda następująco: Mamy tu dwie osie. I znów, aby wyznaczyć współrzędne środka odcinka, musimy obliczyć średnie arytmetyczne poszczególnych współrzędnych końców odcinka.

Zatem środek S[s_1;s_2] odcinka AB, gdzie A[x_A; y_A], B[x_B; y_B] ma współrzędne:

s_1 = \frac{x_A+x_B}{2}, s_2 = \frac{y_A+y_B}{2}

Długość odcinka w przestrzeni obliczamy tak samo jak odległość między punktami w przestrzeni.

Jeżeli dane są współrzędne A[x_A; y_A;z_A], B[x_B; y_B;z_B], długość odcinka AB wynosi:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}

Wektor to uporządkowana para punktów.

Wektor jest wyznaczony przez punkt początkowy i końcowy. Graficznie przedstawiamy go jako odcinek ze strzałką z grotem na końcu wektora, a zapisujemy jako \vec{u}=\overrightarrow{AB}

Na rysunku punkt A jest początkiem wektora \vec{u}, a punkt B końcem wektora \vec{u}.

Wektory przeciwne to wektory, które mają taką samą długość i kierunek, ale przeciwny zwrot:

Wektory współliniowe to wektory, które możemy umieścić na jednej prostej. Nie muszą mieć takiej samej długości, mogą mieć taki sam lub przeciwny zwrot:

Wektory prostopadłe to wektory, które tworzą kąt prosty:

Współrzędne wektora to rzuty prostokątne wektora na osie współrzędnych, czyli wektor \vec{u}=\overrightarrow{AB} ma współrzędne: \vec{u}=(u_1;u_2)=(b_1-a_1;b_2-a_2)

Długość wektora \vec {u}=\overrightarrow{AB} to długość odcinka AB, oznaczamy ją jako \left| \vec{u} \right| i obliczamy w następujący sposób: \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}

Wektor jednostkowy ma długość 1.

Wektor zerowy ma długość równą zero, czyli jego punkt początkowy i końcowy pokrywają się.

Wiemy już, że wektor to uporządkowana para punktów. Jeżeli dane są współrzędne punktów A=[a_1;a_2] i B=[b_1;b_2], to współrzędne wektora \overrightarrow{AB} określa wzór \overrightarrow{AB}=B-A=(b_1-a_1;b_2-a_2).

Współrzędne wektora \overrightarrow{AB} otrzymujemy poprzez odjęcie współrzędnych punktu A od współrzędnych punktu B.

Długość wektora \overrightarrow{AB} to długość odcinka AB. Wektor, którego długość wynosi 1, nazywamy wektorem jednostkowym:

Wektor, którego długość wynosi zero (czyli taki, którego koniec i początek pokrywają się), nazywamy wektorem zerowym:

Długość wektora \vec{u}=(u_1;u_2) obliczamy za pomocą twierdzenia Pitagorasa \left| \vec{u} \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}

W powyższym trójkącie zaznaczonym na szaro długość wektora to długość przeciwprostokątnej. Przyprostokątne mają długość u_1 i u_2.

Iloczyn skalarny wektorów \vec{u} i \vec{v} zapisujemy jako \vec{u}\cdot \vec{v}. Dla wektorów \vec{u}, \vec{v} o długościach \left| \vec{u} \right| i \left| \vec{v} \right|, które tworzą kąt \alpha, iloczyn skalarny jest zdefiniowany następująco:

\vec{u}\cdot \vec{v}=\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|\cdot \cos \alpha

Własności iloczynu skalarnego

• Wynikiem iloczynu skalarnego dwóch wektorów jest liczba (inaczej skalar).
• Iloczyn skalarny wektora zerowego i innego dowolnego wektora jest zawsze równy 0.
• Iloczyn skalarny wektorów, które są do siebie prostopadłe, również jest równy zeru.

Obliczanie za pomocą współrzędnych

Jeżeli mamy współrzędne wektorów \vec{u}=(u_1;u_2), \vec{v}=(v_1;v_2), to wartość ich iloczynu skalarnego jest równa:

u_1\cdot v_1+u_2 \cdot v_2

Wyznaczanie kąta między dwoma wektorami

Korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny, możemy wyznaczyć kąt między wektorami: \cos \alpha=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\left| \vec{u} \right|\cdot\left| \vec{v} \right|}

Prosta jest zazwyczaj wyznaczona przez punkt i wektor lub przez dwa punkty.

Na przykład prosta p przedstawiona na rysunku wyznaczona jest:

• przez punkt A=[1;2] leżący na niej oraz przez wektor \vec{u}=(1;-2)
• lub przez dwa punkty [1;2] i [2;0] leżące na niej

Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie ma postać: ax+by+c=0, gdzie a i b to współrzędne wektora normalnego, a c to liczba rzeczywista. Wektor normalny \vec{n}=(a;b) jest prostopadły do danej prostej, a więc również prostopadły do jej wektora kierunkowego.

Odległość punktu od prostej to długość najkrótszego odcinka łączącego punkt M z punktem leżącym na prostej p. Jak widać powyżej, najkrótszy odcinek zawsze leży na prostej prostopadłej poprowadzonej z punktu M do prostej p. Oznacza to, że odległość punktu od prostej możemy wyznaczyć w następujący sposób:

1. rysujemy prostą k, która przechodzi przez punkt M i jest prostopadła do prostej p
2. wyznaczamy punkt przecięcia P prostej k z prostą p
3. odległość punktu M od prostej p jest równa długości odcinka PM

Wzór na odległość punktu od prostej danej równaniem ogólnym

Odległość punktu M=[m_1;m_2] od prostej p danej równaniem ogólnym ax+by+c=0 wyraża się wzorem: d=\frac{\left| am_1+bm_2+c \right|}{\sqrt{a^2+b^2}}

Odległość dwóch prostych równoległych

Jeśli potrafimy obliczyć odległość punktu od prostej, łatwo łatwo wyznaczyć odległość dwóch prostych równoległych.

Wystarczy zauważyć, że wszystkie punkty leżące na jednej z tych prostych mają taką samą odległość od drugiej prostej. Dlatego odległość dwóch prostych równoległych jest równa odległości dowolnego punktu jednej prostej od drugiej prostej.

Krzywe stożkowe, jak sugeruje ich nazwa, są związane ze stożkiem. Wszystkie powstają jako przekroje powierzchni stożkowej obrotowej płaszczyzną.

• Okrąg powstaje jako przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi powierzchni stożkowej.
• Jeśli trochę nachylimy płaszczyznę przekroju, powstanie elipsa.

• Jeśli nachylimy płaszczyznę przekroju tak bardzo, że będzie równoległa do jednej z tworzących powierzchni stożkowej, powstanie parabola.
• Przy dalszym nachylaniu płaszczyzna przekroju przetnie już obie części powierzchni stożkowej i powstanie hiperbola.

Na krzywe stożkowe możemy również patrzeć jako na zbiory punktów o określonej własności. W geometrii analitycznej często zapisujemy te zbiory za pomocą równań.